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Full text of "Sur les équations de la gravitation d'Einstein"

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SUR 



LES ÉQUATIONS 



DE LA 



GRAVITATION D'EINSTEIN 



E. CARTAN 

pnOFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS 



Extrait du Journal de Mathématiques^ 
1922. Fasc. n" 2 




PARIS 
GALTHIER-VILLAHS ET C'% ÉDITEURS 

LIBHAIRESvOD BUREAU DES LONGITUDKS, DEL'ÉCOLK POLYTECHr .QUE 

Quai des Grands-Augustins, 55 

1922 



s ente d 
hy 

Prof. Emit Stamm 
ih memoriam 

1985 



.-^Lrt 



SUR 



LES ÉQUATIONS 



GRAVITATION D'EINSTEIN 



E. CARTAN 



riiOFESSEUR A LA FACULTE DKS SCIENCES DE PARIS 




KS.- 5 1 . I ^* 



oTAT ^Y 

'QR?'!TO 



PARIS 
(JAUÏHIER-VILLARS ET C-, ÉDITEURS 

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDKS, DE I.'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 
Quai des Grands-Auguslins, 55 v 

I9!22 



SUR 



LES ÉQUATIONS 



GRAVITATION D'EINSTEIN 



Les équations de la gravitation d'Einstein expriment les com- 
posantes T,7, du tenseur-matière au moyen des coordonnées x, 
de l'univers (espace-temps), des coefficients g,vt de la forme diffé- 
rentielle quadratique fondamentale 'Lgn.dxidx,, et de leurs dérivées 
partielles des deux premiers ordres. Ces équations, d'après le prin- 
cipe rriême de relativité, doivent avoir une signification indépen- 
dante du choix des coordonnées. Cela revient à dire que si les 
équations de la gravitation sont 

T/A- = — Gik-, 

la forme différentielle quadratique ^.Gj^dxidx/, est covariante de la 
forme fondamentale vis-à-vis d'un changement de coordonnées arbi- 
traire. 

La recherche des équations de la gravitation revient donc à la 
recherche de toutes les formes différentielles quadratiques cova- 
riantes lLGc^i,dx,dxi,. Einstein ajoute deux conditions supplémen- 
taires : la première que les G,/, soient linéaires par rapport aux 
dérivées partielles du second ordre des fonctions g,7;, la seconde 
que la loi de conservation soit respectée. 

Je me propose, dans les pages qui suivent, de démontrer rigou- 
reusement que la seule solution mathématiquement possible du 
problème ainsi formulé est celle qui a été indiquée par Einstein. 
D'une manière plus précise, toutes les formes différentielles cova- 
riantes ^Gtn^dxidxi^ dont les coefficients G^/, dépendent linéaire- 



4 E. CARTAN, 

ment des dérivées partielles du second ordre des g,^. se déduisent 
d'une d'entre elles lG/ytC^a;,c?a;/. par la formule générale 

iGjA- dxi dxk = a i G,/., dxi dx^ + ( P A + y ) -^",7.- dxi dx,,^ 

OÙ a, (3, Y sont trois constantes arbitraires, A étant la courbure 
scalaire de Riemann. La condition que la loi de conservation soit 
resjDectée ne laisse que deux paramètres arbitraires (homogènes) 
au lieu de trois. 

Étant donnée la difficulté qu'on rencontre à avoir connaissance 
des Mémoires parus à l'étranger pendant la guerre et depuis la 
guerre, je ne suis pas absolument sûr qu'aucune démonstration 
de ce théorème n'ait été donnée. Celle que je vais exposer repose 
naturellement sur la détermination préalable des invariants d'une 
forme différentielle quadratique vis-à-vis du groupe général à 
n variables (quatre dans le cas de la relativité) : c'est le problème 
même étudié par Christofîel {Journ. de Crelle, t. LXX), et en vue 
duquel a été fondé le calcul différentiel absolu. La méthode que 
j'emploie n'est que la simple application dans un cas particulier 
d'une méthode générale que j'ai développée en 1908 (^). Si l'on 
imagine la forme différentielle donnée décomposée en carrés 

ds-=i — wj — (jil — cOj ^- oj|, 

OÙ coj, CO2, t03, Lo. sont des expressions différentielles linéaires (non 
différentielles exactes), le problème revient à trouver les invariants 
du système de ces quatre formes vis-à-vis des transformations que 
fait subir à ces formes une substitution linéaire appartenant à un 
certain groupe (celui qui conserve to' — oi] — w"^ — col). Toute 
décomposition du ds'^ en carrés revient au fond au choix d'un 
système de référence euclidien associé à chaque événement. La for- 



(^) Ann. Éc. norm., 3® série, t. XXV, p. 67 et suiv. (Chapitre I du Mémoire). 
D'une manière générale je renverrai, pour les notations et les éléments essentiels 
des théories utilisées, à un Mémoire récent du Bulletin de la Société mathématique 
de Franco, t. XLVII, 1919, p. i25-i6o, et t. XLVIII, 1920, p. 182-208, spécialement 
les Chapitres I, II et III. 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 5 

mation des covariants bilinéaires des co, fait intervenir les compo- 
santes oj,y de la rotation instantanée du système de référence 
mobile (ce qui entraîne la définition du parallélisme due à Levi- 
Civita), les covariants bilinéaires des w,y introduisant à leur tour 
les symboles de Riemann et ainsi de suite. 

Je n'utilise pas du tout le calcul différentiel absolu de Ricci; ce 
n'est pas que j'en méconnaisse l'importance; mais il n'est pas 
mauvais, je crois, de montrer que des méthodes absolument géné- 
rales sont applicables à la théorie des invariants d'une forme 
différentielle quadratique. Les mêmes méthodes s'appliqueraient 
à la théorie des variétés généralisées de H. Weyl, définies par un ds"^ 
et une forme différentielle linéaire, et aussi à la théorie des inva- 
riants d'une équation différentielle quadratique Zgi/,dxidxk = o, 
ou même d'une équation de Monge quelconque 

F(.ri; dx,) = o. 

Il est très remarquable que les équations de la gravitation 
d'Einstein ne font intervenir que dix combinaisons linéaires des 
vingt symboles de Riemann; il existe dix autres combinaisons 
linéaires qui se conservent (ou plutôt dont les rapports mutuels 
se conservent) lorsqu'on multiplie le ds^ par une fonction arbi- 
traire des Xi et qui constituent les seuls invariants relatifs du 
second ordre de V équation ds'^ =o; ces dix combinaisons linéaires 
intéressent donc uniquement les lois de propagation de la lumière, 
tandis que les dix combinaisons qui entrent dans les équations de 
la gravitation ne les intéressent pas. Il est assez déconcertant que 
ces dix dernières quantités seules aient été considérées par les 
physiciens. Je montre qu'elles entrent comme parties réelles et 
imaginaires des coefficients d'une forme quadratique ternaire 
covariante. 

Je signalerai enfin (11° 5iî et suiv.) la forme donnée au tenseur 
de la gravitation conçu comme un vecteur appliqué à un élément 
à trois dimensions de l'univers, les composantes de ce vecteur 
étant des formes différentielles symboliques du troisième degré. 
La loi de conservation s'exprime d'une manière simple au moyen 
de l'opération de dérivation extérieure qui fait passer d'une inté- 



E. CARTAN. 



grale multiple étendue à une variété fermée à l'intégrale égale 
étendue au volume limité par la variété. 

Ce Mémoire a été rédigé il y a plus d'un an. Depuis j'ai publié, 
en février et mars derniers, dans les Comptes rendus de V Académie 
des Sciences (t. 174. p. 437, 5g3, 784, 867, iio4)) d^s Notes relatives 
à une conception géométrique nouvelle des espaces non euclidiens. 
L'idée fondamentale de ces Notes est en germe, sous une forme 
mi-abstraite, mi-géométrique, dans les premiers et les derniers 
numéros de ce Mémoire (!-(>, 50-40). 

J'ajoute que ce Mémoire résout aussi implicitement, d'une 
manière rigoureuse, le problème de la détermination de tous les 
systèmes covàriants de relations entre les Xi, les gj/, et leurs dérivées 
partielles des deux premiers ordres, ces relations étant linéaires 
par rapport aux dérivées partielles du second ordre. Ce problème 
est lié à celui de la décomposition du tenseur de Riemann-Chris- 
tofïel en tenseurs irréductibles j dans le cas n =4? cette décompo- 
sition, possible d'une manière et d'une seule, fournit trois tenseurs 
irréductibles : 

i*^ Le tenseur scalaire A (courbure totale de Riemann) ; 
2° Un tenseur (G) à neuf composantes G/y, G,, — Gyy; 
30 Un tenseur (H) à dix comiposantes, celles dont il est ques- 
tion plus haut. 

Cela posé, si l'on fait abstraction des relations obtenues en 
annulant toutes les composantes Af^ du tenseur de Riemann- 
Christoffel, relations qui expriment que l'espace est euclidien, 
les seuls systèmes covàriants possibles s'obtiennent, soit en 
annulant l'un des trois tenseurs irréductibles, soit en annulant 
simultanément deux de ces trois tenseurs. En particulier, les 
lois de la gravitation d'Einstein, dans une région vide de matière, 
s'obtiennent en annulant les deux tenseurs A et (G) ; au contraire, 
les lois de la gravitation (à potentiel scalaire) de Mie s'obtiennent 
en annulant (H). 

Ces propriétés se généralisent pour un nombre quelconque 
de dimensions. Elles se rattachent à la théorie générale des groupes 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. "] 

linéaires qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, et 
au sujet de laquelle je me permets de renvoyer le lecteur à deux 
de mes Mémoires \Bull. Soc. math., t. XLI, p. 53-96 (igiS), et 
Journ. Math, pures et appliquées, 6^ série, t. X, p. 149-186 (1914)]- 



Préliminaires. 

1. Considérons dans l'espace euclidien un système de coor- 
données curvilignes quelconques et supposons le ds^ décomposé 
en une somme de trois carrés 

dS' := GJ^ -h (jjj + OJ3 , 

en désignant par co^, ojg, ojo trois expressions linéaires par rapport 
aux différentielles des coordonnées, avec des coefficients fonctions 
de ces coordonnées. Effectuer une telle décomposition revient à 
choisir en chaque point M de l'espace un trièdre trirectangle ayant 
ce point pour origine; les expressions Wi, co^, Wg désignent alors 
les composantes, suivant les axes de ce trièdre mobile, du vecteur 
infiniment petit joignant le point M au point infiniment voisin 
M -f dM, ou encore les composantes de la translation infiniment 
petite qui, jointe à une rotation infiniment petite autour d'un axe 
passant par M, fait passer du trièdre associé au point M au trièdre 
associé au point M + dM. 

Désignons maintenant par «33 = — W32, ^3^ = — w^g, ^0^3 = — ^'-*2i 
les composantes de cette rotation. Il est facile de voir, et c'est du 
reste un résultat classique, qu'il y a entre les six composantes to„ 
co,y du déplacement instantané du trièdre mobile de référence 
des relations nécessaires. Remarquons d'abord, et ceci aura une 
grande importance plus loin, que si x, y, z désignent les coor- 
données d'un point fixe par rapport aux axes mobiles, on a les 
relations 

/ c/^ -4- J'fij,, + 5 UJ31 + OJ] = c, 

(i) .' ^/y -4- ;; CO32-I- .r6ji2+ C03=3 o, 

f dz -h a: 0)13 + V w^s + Wj ::= o. 

En exprimant les conditions d'intégrabilité des équations (i). 



8 



E. CARTAN. 



c'est-à-dire en écrivant que les covariants bilinéaires des premiers 
membres des équations (i) sont nuls en tenant compte de ces 
équations elles-mêmes, nous obtenons 



[ "2 «21 ] — [ f.);, C)3, ] + X ; 0)2 , — [0)23 M31 ] 



^->>:n 



[0)3,0)2,] î = 0, 



Oy', — [ 033 0)32 ] — [ «"J» 1 ''J> I 2 ] 



0)3, — [0)3,0),,] \-h .v] 0)',2— [0)130)3,] j :=0, 



(2) 



«3— [f-'l^ia] — [f.>2 0)23] ^-^^"î f'>13— [^1-J>h3] I +.>■ ! f'>23— [^^2lW,3] ! = O. 

Ces relations ayant lieu quels que soient x, y, z, on en déduit les 
relations cherchées 

0)', = [0)0 fj)2l] + [fOsf-^Sl], 

0)'^ =r [0)3 0)32] + [o), 0)12], 
0)'j = [o), 0),:,] -4- [0)20)03]» 
0)2.,= [W2,CO,3], 
0)3j =: [0)320)21], 
0)',,= [0)130)32]. 

Ces relations peuvent être interprétées, en introduisant deux 
symboles de difîérentiation arbitraires d et o, comme étant équi- 
valentes aux relations 



dw] — ôo)',' — 

d(i)\ — ÔOj'i =: 
rfo)?, — r3o)'.( = 

d(ii\ 3 — ôo) o 3 =^ 

d'A , — «« :l , = 

r/o)'Î2 — (3oj'/2 = 



'4 
'4 


o)S, 


+ 


«3 


«3, 


u4 


«'{2 




0/,' 


<2 






+ 




0)f, 


o4 




^>i 


c/;. 


0)',' 
0)^î 




-H 


0)'^ 

0)5 


«'23 



^2 1 
0)2, 

'4 2 



0)' 



O)'. , 



W, 



2. Les trois premières formules (2) montrent que, si Von connaît 
seulement Wj, Wg, 0J3, c'est-à-dire les composantes de la transla- 
tion instantanée du trièdrc mobile, on peut en déduire par de 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 9 

simples différentiations CO23, cogj, Wjg? c'est-à-dire les composantes 
de la rotation instantanée. Imaginons en effet exprimées les 
dérivées w'^, (n^, m[ en fonctions de coj, cog» Wg, ce qui est toujours 
possible, soit 

Gj', rrr <7, [0)2(1)3] + ^i[W3«iJ + Cl [ci), W2], 
Gj'^ = a2[(.)2 0J3] + /^2[''j^3''jJl] -^ (^il^h^'^i]^ 
&)',= «3[W2W3] + '^sLws^'Jl] + C3[Wia)2]. 



Posons de plus 



OJ23 = «1 "^Ji H- (3l «2 + "/l W3, 

^31= a2C'Jl+ [^2 «2-^^72 «3. 

0)12= «3(^1 + (33f^2+ yaWs- 



Un calcul facile donne, sans ambiguïté, 



«1 = -(«1— ^2— C3), (3, = «2, y, 



«2=^1, (32 = -(^2— C3 — fl'i), yï= b., 



«3 = 0,, [33= C2, 73= - (C3— «1— 6;). 

Les composantes de la rotation étant ainsi déterminées, les 
équations (i) donnent les conditions pour que le point de coor- 
données relatives [x, y, z) soit fixe. En particulier, les conditions 
pour que la direction u, v, w soit invariable sont 

/ 6?« -+- (^ 0)21 H- (VCOjirr: o, 
(3) < dv + «'(O32 4- « Wi2:=0, 

( div H- ;< 0l»i3 -I- «' Wjs = o ; 

elles indiquent comment doivent carier les paramètres directeurs 
mobiles u, v^ w d'une droite issue de M pour que cette droite reste cons- 
tamment parallèle à elle-même. 

5. Les considérations précédentes s'étendraient à un espace 
euclidien à un nombre quelconque de dimensions, et même à des 
espaces euclidiens généralisés, tel que celui de Minkowski, pour 
lequel le carré de la distance de deux points (x) et (x') serait de 



lO E. CARTÂN. 

la forme 

/ = n 

/ = 1 

OÙ les coefficients £/ sont égaux les uns à + i? l^s autres à — i. 
Appelons produit géométrique V | V de deux vecteurs V et V de 
projections 

"\ "'//' 

l'expression 

V^ I \" = £i «, if\ + £0 11-2 //'a + . . . + £„ '/„ «',. 

Choisissons d'une manière arbitraire en tout point de l'espace 
un système de vecteurs de référence V^, . . . , V„ satisfaisant aux 
relations 

(4) V,|V,= £„ V,|V,.= o {i^J). 

En se déplaçant d'un point M à un point infiniment voisin M', 
on aura des relations de la forme 



(5) 



dMz=z 00, VjH- W2 V2 + . . .+ w„ V'„; 

dWi^ £1 C.J,i Vi + £., 0)/, V., H- ... + £„ Min V„ (<■=(,..., /O , 



OÙ les co, et les w,y sont des expressions linéaires par rapport aux 
différentielles des coordonnées et satisfaisant aux équations 

CO,-,- =: O, M,j -h Mji =0 (/,/= 1 ,...,/? ) 

obtenues en difîérentiant les équations (4). On en déduit, d'abord 

( 6 ) ds- rn £, 0) j + £2 GJj -+- . . . + t„ co* , 

puis, en écrivant que les premiers membres de (5) sont des différen- 
tielles exactes, 

; k=zn. 

(7) 



Les équations qui expriment qu'un point de coordonnées rela- 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. I I 

tiçes [xi, . . . , x„) est fixe sont enfin 

/.=n 

( 8 ) djri-\-oii+ s/^^k '^H~i = o. 



x = i 



Les expressions co, sont les composantes de la translation instan- 
tanée, les expressions w.. celles de la rotation instantanée du sys- 
tème de référence mobile. 

A. Supposons inversement que nous ayons décomposé le ds^ 
de l'espace euclidien précédent par une formule telle que (6). Cela 
revient à associer à chaque point de l'espace un système de réfé- 
rence mobile; les expressions co, désignent les composantes de la 
translation instantanée de ce système; quant aux composantes de 
la rotation instantanée, elles sont données sans ambiguïté par les 
n premières formules (7). Si, en effet, on pose 



1 n 



les coefficients inconnus a-^^ sont donnés par les équations 

<X/,i/— 0./,/,:= SiC/,/i, 

qui conduisent à 

5. Arrivons maintenant à une forme différentielle quadratique 
à n variables donnée a priori et supposons-la décomposable en une 
somme de carrés de n formes différentielles linéaires indépen- 
dantes. Imaginons même que cette décomposition soit effectuée de 
la manière la plus générale possible, ce qui introduit, comme on 
sait, "^" — '^ paramètres arbitraires. Nous désignerons par x^, . . . , a;„. 



12 E. CARTAN. 

les variables données et w^, . . ., w„,„ ,, les paramètres arbitraires. 
Soit alors 

(9) ^5-= £, (oj H- £.,0)2 +• • • + £«f'^,", (£,=:±:i). 

Les n formes to, sont linéaires en dx^, . . ., dx,„ avec des coeffi- 
cients fonctions des x et des u. Calculons leurs covariants bili- 
néaires : chaque terme d'un de ces covariants contiendra en fac- 
teur l'une des différentielles dx^, . . ., dxn, et par suite on pourra 
les mettre (d'une infinité de manières) sous la forme 

(10) 0)',=r£,[0Ji(,J,,] + £,[c)oC),,] +.. .+ £,[w„r,j„,], 

les co'.j étant des formes linéaires par rapport aux dx et aux du. 
Exprimons maintenant que le ds'^ donné ne dépend pas des para- 
mètres u. Pour cela employons deux symboles de différentiation d 
et 0, le second se rapportant à une différentiation par rapport à 
l'un quelconque des paramètres u. On aura alors évidemment 

D'autre part, en écrivant que o{ds^) est nul, on obtient 

£1 co'/ ôa)'( + £2 w'i o(t)'i H- ... -I- £„ (0^ è(j)',[ z= o. 

Or on a 

A = « k = /l 

A = l A=l 

par suite, la relation précédente devient 
d'où enfin 

fo|,- + r,)'},. = O. 

Les relations auxquelles nous venons d'arriver prouvent que les 
expressions oi-^ + o)^- {ainsi que co,,) sont linéaires en toj^, . . ., co„. 
Tenons compte maintenant de l'indétermination des co.^ : on 
peut, sans changer les formules (lo), remplacer m-j par 

A - n 
OJ,y = 0),7 + 2^ (3,y/, OJy;. aVCC (3/,,/ = [3///,, 



ÉOUA.TIONS DE LA GK.WITATION d'eINSTEIN. i3 

l'expression w.^ + w^, est alors remplacée par 



A = « 



Wij + Wy/ — (0/y + fOy/ + ^ ( ,3 /y/, + i3y,7c ) W/, ; 

on pourra disposer des indéterminées (3,^,. pour annuler tous les 
seconds membres, et cela est possible d'une manière et d'une seule, 
comme il est facile de s'en rendre compte. 

Par suite, à toute décomposition du ds^ en n carrés de la forme (9) 

correspondent, d'une manière et d'une seule, '\ expressions 
de Pfaff to, = — cOj^, linéaires en dxi, ..., dx„, du^, ..., du„^_, , satis- 
faisant aux relations (10) 

(10) (^',-=iei^[wk(^)Ai]. 



k^\ 



6. Rien ne nous empêche de dire que la décomposition (9) en 
carrés du ds^ définit en chaque point de la variété à n dimensions 
considérée un système de référence euclidien et d'appeler respec- 
tivement composantes de la translation instantanée et compo- 
santes de la rotation instantanée de ce système de référence les 
expressions de Pfafî 

0),, (025 ' • ■ 1 ^«J 

0)i25 ' • • 1 f'>/i-l,'f 

Nous conviendrons également de dire qu'un point ayant pour 
coordonnées (euclidiennes) x^, . .., x„ par rapport au système de 
référence mobile a une vitesse absolue nulle pour un déplacement 
infiniment petit du système de référence si l'on a les relations 

( 8 ) d.v, -+- w,- + £,^ .r A- w/,i = o ; 

*= 1 

nous conviendrons de même de dire qu'une direction issue de M 
et ayant pour paramètres directeurs ;i, . . . , H„ reste parallèle à. 



l4 E. CARTAN. 

elle-même quand on a les relations 

( 8' ) de, 4- £,'2 <'^ ^/•' = ^ 5 

nous retrouvons ainsi la notion du parallélisme de Levi-Civita (^). 

Dans une variété euclidienne une demi-droite issue de M et se 
déplaçant parallèlement à elle-même revient coïncider avec sa 
position initiale quand le point M décrit un contour fermé quel- 
conque. Analytiquement, cette propriété tient à ce que le système 
de Pfaff (8) est complètement intégrable : si, en effet, on exprime 
les conditions d'intégrabilité complète de ce système, on trouve les 
équations (7). 

11 est facile de voir que, réciproquement, les équations (7) ne 
conviennent qu'aux variétés euclidiennes. Il suffit pour s'en con- 
vaincre de montrer qu'il est possible de réduire le ds^ à la forme 

ds^=y£idxj, 

en choisissant pour les x et les u des fonctions convenablement 
choisies des n variables X^, . . . , X„. On y arrive en intégrant le 
système 

(i),- — dX,:= O, 



0)/^ — o 

Ce système est complètement intégrable, car les covariants 
bilinéaires des premiers membres, qui sont respectivement 

A = l 

sont nuls en tenant compte des équations du système. La déter- 

(^) T. Levi-Civita, Rendic. delCirc. mat. de Palermo, t. XLII, p. lyS-aoS. 



EQUATIONS DE LA. GRAVITATION D EINSTEIN. l5 

mination demandée des x et des u en fonction des X est donc 
possible d'une infinité de manières. 

Les variétés euclidiennes sont donc les seules pour lesquelles 
la notion de parallélisme de deux directions issues de deux points 
quelconques M et M' a une signification absolue, c'est-à-dire indé- 
pendante du chemin suivi pour aller de M en M'. 

7. Revenons au cas général et partons des équations 

(lo) M'f=e,-^['j);,(j)ki] 



/. = 1 



qui introduisent d'une manière univoque les composantes m- de 
la rotation instantanée de l'espace. Dérivons ces équations, c'est- 
à-dire égalons les covariants trilinéaires des deux membres; nous 
obtenons 

/, =: n 
/. = 1 

OU, en remplaçant les co)_ par leurs valeurs, 

(12) ^[,^,9.^^ = 0, 

en posant 

( 1 3 ) Hij = u))j — 2 £/.■ [ w/A- Mkj]. 

/. =1 

On voit que les expressions O,^, qui sont nulles dans le cas eucli- 
dien, satisfont simplement aux relations (12) dans le cas général. 
Ces expressions sont des formes en dx-^, . . ., dx,i, du^, . . ., du,, ^_,„ 

, ce qui revient au même, en coj, . . . , co„, m.-. Posons donc 

i/tl) h, (lin) \hl),(mit) 

En portant dans les relations (12), on voit immédiatement que 



ou 



l6 E. CARTAN. 

tous les coefficients C sont nuls. La considération des ternies en 
donne ensuite 

Bklm T>hlm 
hi — "ki » 

ce qui montre qu'on peut échanger les premiers indices inférieur et 
supérieur, sans changer la valeur du coefficient B; d'autre part, 
l'échange des deux indices inférieurs change manifestement le 
signe de B. On peut donc écrire les six équations 

vt/il/ii lihliii \"li/iit \iklm \\hliii — Viilm 



hk + ^/f/( — *^' "A/ + '^/A — O) '^/i 



*hl 



qui entraînent avec elles la nullité de tous les coefficients B. 

Enfin, si l'on annule dans (12) le coefficient du terme en [w^^oj^wJ, 
on obtient entre les A^j la relation 

Il est presque inutile de faire observer d'autre part que l'échange 
des deux indices inférieurs i, j, ou l'échange des deux indices supé- 
rieurs A, l, change le signe de A''^. 

Finalement, dans le cas d'une variété non euclidienne, les for- 
mules (10) sont à compléter par les formules 

k=:n l,...,n 

OÙ les quantités K']'i = — A^^ = — A|y satisfont aux relations 

(.5) A^,<+ Ai-^ + A^^r^o (/, h, />, l=v, 2, .... n). 

Les quantités A^'^ sont les coefficients de courbure de Riemann. 

8. Pour n'être pas arrêtés plus loin dans nos raisonnements, 
poursuivons nos calculs. La dérivée (covariant trilinéaire) de I2,y, 
calculée d'après la formule (i3), est 



^^ij — —'y £a [ '^ùk ^^kj ] + 21 ^'' t ^^'■/•- ^*>i7 ] ' 



A 



ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION D EINSTEIN. l'J 

OU, en remplaçant wj^ et CD^^^par leurs valeurs tirées de (i3), 

k=n k=n 

k=l k=l 

Cette équation développée à son tour, en remplaçant £},y par la 
valeur 2 A'-j [w^W/], donne les équations 

I n p = n l 72 

(17) 2 [^/A^y w/i-w/] =2 2 ^p[(^py"'P+'^'^-'Vp+ AP;.«,.p+A^;P0J,p)03;t(,)/]. 
{kl) p = 1 ( A-/ ) 

On peut donc écrire 

p = re h = n 

(18) d\^j = y^ £p(Aj/o,,p+ A^/^^pH- APj«,.p+ Aj|a)/p) +2 (A£)/^o,/„ 

p=l A=l 

avec de nouveaux coefficients (A*y)^ satisfaisant aux relations 

(19) (A)<)/,+ (Al^)/,+ (A/;),= o, 

(20) (A;'/U-h(Af)),+ (A^';)/ = o, 

dont les premières proviennent de la dérivation des relations (i5) 
et les dernières de l'égalité des termes en [cO/^co/^co^] dans les deux 
membres des relations (17). 

y. Les équations (18) dérivées donnent à leur tour naissance à 
des formules qu'on peut écrire 



(21) 6^(Ag),=2^p[(^p')^'^''P+(^'p)'''^Vp-H(A?;),03,.p+(A*P)/,r^,p+(Ajj)p0)^^^ 
P = i 

p=^n a = n 

p= I T = 1 
m =: Il 

+ 2 ( A ^/ )/,,„«„,, 
avec de nouveaux coefficients (A^')/,„, ne dépendant pas de l'ordre 



l8 E. C\RTAN. 

des indices inférieurs h, m et satisfaisant aux relations 

(ao.) (A5-f)/,,„+ (Ai/)/„„ + (A^,f )/„„= o, 

(23) (A^j)/„„+(A<^^)/,,„+(A^/)/,„ =0, 

conséquences des relations analo^es (ig) et (20). 

Enfin, une nouvelle dérivation des équations (21) permet d'écrire 

p = « 

(24) d{k)'j)n,n— y^ £p [( Ajf )/„„oj,p-f- (Â?/)/</"f^yp-^ (Afj)/„„ wxp 

p = i 

+ (A^j)/,,,, W/p-f- (Ajj)p,„0)/,p+ (Aj/)/,pr,)„,p] 
> p=rn (7=« 

+ ^2 2^p(A?i)p(A/rff+A^;fp)co, 

p=l (7 = 1 
p = n (7= 



^2 2^pt(Aj;).A;f4-(A*^),A;f+(A^),A^- 

+ (A*p),A;f+(Af;),„A;;f 

+ (Afp')„, a;;? + (AP/)„, Al'^+ (Ai^),,, A;-]o,^ 



+ (A*p),A;f+(Af;),„A;;f 



p=n T=:n 



+ AP/[(Alp„, + (Ai7)/,] 
+ AÎ.|[(A;'p^)„, + (A7p')/J!a>, 



^ ' " ' +AP/[(Alp„, + (Ar)/,] 



où les nouveaux coefficients (Aj^^^^^ ne dépendent pas de l'ordre 
des indices extérieurs h, m, r et satisfont aux relations 

(25) {i\)U,nnr-^ { -^i^,) Inn r + {Mi)/'>nr= O, 

(20) ( A^j)/,„,,H- {\f/j),„„.+ ( Af/)„„, =: O. 

Nous pourrions continuer indéfiniment ces opérations qui nous 
conduiraient chaque fois à de nouvelles quantités avec un nombre 
croissant d'indices. 

10. Il ne sera pas mauvais, avant d'aller plus loin, de savoir 
combien, parmi les quantités A^.', (A^.')/,, etc., regardées comme des 



KQUATIONS DE L\ GRAVITATION D EINSTPHN. I9 

indéterminées liées par les relations (i5), (19), (20), (22), (23), (26), 
(26), sont indépendantes. 

Occupons-nous d'abord des quantités A^y. Convenons de dési- 
gner par la notation i \ hkl le premier membre, changé de signe, de 
la relation (i5) : 

- La relation 

/ 1 h kl— h I ikl —k\ihl-\-l\ ihk — o 

donne, après simplifications, 

Kkl — Kih 

ce qui montre qu'on peut échanger les indices inférieurs avec les 
indices supérieurs. 

Cela posé, on pourra toujours supposer que les indices inférieurs, 
aussi bien que les indices supérieurs, sont rangés par ordre de gran- 
deur décroissante, et que le plus grand indice inférieur est au moins 
égal au plus grand indice supérieur; autrement dit, toute quan- 
tité A,*y se ramène à celles pour lesquelles on a 

i >/, k >> /, 12. k. 

Les quantités pour lesquelles ces inégalités sont vérifiées ne 
sont pas elles-mêmes indépendantes, et l'on peut se ramener à celles 
pour lesquelles on a en même temps 

.ill' 
En effet, supposons qu'on ait 

i>j, k>l, ilk, j<t, 

c'est-à-dire 

i>k> l>j\ 

la relation 

ramène k.']'^ aux deux quantités A,'^ et A-'/ pour lesquelles les iné- 
galités exigées sont vérifiées. 

Nous conviendrons de dire qu'une expression A''^' est normale 



20 E. CAKTAN. 

lorsque ses indices satisfont aux inégalités précédentes 
(27) i>j, loi, ill<> j=l- 

Toute expression PJ'/j se ramène à des expressions normales. 

Il est maintenant facile de voir que les expressions normales sont 
indépendantes. Passons pour cela en revue les différents cas qui 
peuvent se présenter suivant le nombre des indices i, j, k, l distincts. 

Si deux seulement des quatre indices sont distincts, on aura une 
seule quantité normale 

Mj ('>,/)• 

Si trois indices sont distincts, i > j > k^ on aura trois quan- 
tités normales 

'y u ' >^ 

Si enfin les quatre indices sont distincts, i > j > k > l, on aura 
deux quantités normales 

Remarquons maintenant que toute relation i\hkl =0 se 
réduit à une identité si les indices h, k, l ne sont pas tous distincts; 
par conséquent les quantités à deux indices distincts n entrent dans 
aucune relation. Les quantités à trois indices distincts i > j > k 
figureront dans les relations 

i I ijk =: o, / I ijk — o, /. [ a/A = o, 

dont chacune exprime la loi d'échange des indices inférieurs avec 
les indices supérieurs et qui par suite n'entraînent aucune relation 
entre les quantités normales. 

Enfin les relations i \ jkl = o où figurent quatre indices dis- 
tincts donnés n'entraînent, il est facile de le vérifier, aucune rela- 
tion entre les quantités normales. 

Les quantités A-/ normales sont donc indépendantes, et leur 
nombre total est 

n{n-l) , ^ n{n — i){N—-?.) ^ // ( n - i) ( /a- :0 ( n - 3 ) 
Cf, + 3C;i + .C,; --= +0 h 2 

11'^ {/i- — 1) 



ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION d'eINSTEIN. 21 

11. Passons aux quantités (AJ,% que nous conviendrons 
d'appeler les quantités A du premier ordre (les quantités A*' étant 
d'ordre zéro). Convenons encore de dire que (A*')yi est dérivée 
de AJ,'. Les relations (19) nous permettent de ramener les expres- 
sions du premier ordre à celles qui sont dérivées d'une expression 
normale d'ordre zéro. 

Nous dirons qu'une expression [k'i',)h du premier ordre est nor- 
male si ses indices, en outre des inégalités (27) qui expriment qu'elle 
est dérivée d'une quantité normale d'ordre zéro, satisfont à l'iné- 
galité supplémentaire 

(28) klh. 

Toute expression du premier ordre non normale se ramène à des 
expressions normales avec diminution de Vindice extérieur h. Sup- 
posons en effet 

i>J, k>L i^k, Jll, k<h; 
la relation 

ramène l'expression considérée à d'autres expressions pour 
lesquelles l'indice extérieur est diminué; chacune d'elles peut être 
ramenée. Sans changement de l'indice extérieur, à d'autres dérivées 
d'expressions normales d'ordre zéro. On raisonnera sur chacune 
de ces expressions comme sur la première jusqu'à ce qu'on ne 
puisse plus diminuer l'indice extérieur; on aura donc finalement 
des expressions toutes normales. 

Considérons maintenant une quelconque des relations (20) 

ij I Uh ^ {Xlj), +- {Mj),+ (Af/)/= o, 

où nous pouvons toujours supposer qu'on a 

i>j\ k>l>h. 
Cette relation sera dite normale si l'on a en même temps 

i^l, jlli. 



22 E. CART\N. 

On voit qu'à une relation normale correspond une expression A''' 
normale, mais une expression dérivée {A.'/i)/i non normale. Il y a 
exactement autant d'expressions non normales du premier ordre 
dérii^ées d'une expression normale d'ordre zéro quil y a de relations 
normales. 

Remarquons en troisième lieu que toute relation (20) non nor- 
male est une conséquence des relations normales. Prenons en effet 
une relsition non normale 

,/\k//i = o (/>y, /.>/>//) 

et supposons d'abord / > h, mais i <i l\ on a donc les inégalités 

L'identité facile à vérifier 

ij I /,//, _ /■/ 1 l/h + /i I /,//i -^ Id I ijh — Ij I kih 4- /;/ I lih = o 

ramène la relation donnée à des relations normales. 
Supposons maintenant / < /î, c'est-à-dire supposons 

l'identité facile à vérifier 

ij I /dh — /A I //(/ — il I /./// + ih I /.//■ = o 

ramène la relation donnée à d'autres q,ui rentrent dans le premier 
cas examiné. 

De tout ce qui précède il résulte que, les relations (20) se ramenant 
uniquement aux relations normales, ces relations normales sont 
indépendantes; sinon, en effet, il serait impossible, au moyen des 
relations (20), de tirer les expressions non normales, qui sont en 
nombre égal aux relations normales, en fonction des expressions 
normales. On voit de plus quil ny a aucune relation entre les 
expressions normales. 

Le dénombrement des expressions normales du premier ordre 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATTON d'eINSTEIN. 23 

ne présente aucune difficulté. On calcule facilement le nombre des 
expressions normales formées avec 2, ou 3, ou 4? ou 5 indices dis- 
tincts : on trouve respectivement les nombres 

2, 9, [2, 5; 

par suite le nombre des expressions normales du premier ordre est 

n-{ n- — i) ( n + 2) 



2 C;i + 9 C^ + 1 2 C^j -^ 5 C^ 



24 



12. Les mêmes raisonnements et les mêmes conclusions 
s'étendent aux expressions du second ordre de la forme (A-/)^„j. 
On peut, en vertu des relations (22), ramener ces expressions à celles 
qui sont dérivées d'expressions normales d'ordre zéro, et l'on peut 
aussi les ramener au cas h y m. Nous conviendrons de dire qu'une 
telle expression est normale si, en outre des conditions précédentes, 
elle satisfait à l'inégalité 

(29) k'^h. 

1° Toute expression non normale du second ordre se ramène à des 
expressions normales açec diminution de Vun au moins des indices 
extérieurs. On peut d'abord, en effet, ramener l'expression (A-^')/, à 
être normale avec diminution de l'indice h. Les nouvelles expres- 
'sions qui s'en déduisent par addition du second indice extérieur m 
seront traitées comme l'expression primitive après échange, s'il y 
a lieu, de l'ordre des deux indices extérieurs. On continuera ainsi 
tant que cela sera possible et l'on sera finalement ramené à des 
expressions toutes normales. 

2° Désignons par le symbole ij\kl}i\m, le premier membre de 
la relation 

ij I idh I m = (Ag),,„-4- (A<j),,„+ (A;'/)/,„=r o, 

OÙ l'on peut toujours supposer 

/■>,/, k>l>h. 



2/| E. CAUTAN. 

Cette relation sera dite normale si l'on a 

i > /, />>/>/*, « £ /, / 1 /i, A- ^ m, 

c'est-à-dire si l'expression [A.'/^')k,n ^st dérivée d'une expression 
normale d'ordre zéro, mais sans être normale elle-même. Il y a 
évideinment autant d'expressions non normales dérivées d'expres- 
sions normales d'ordre zéro qu'il y a de relations normales. 

3° Toute relation non normale est une conséquence des relations 
normales. On peut en effet, d'après ce qui a été dit au numéro pré- 
cédent, ramener la relation donnée, sans altération du dernier 
indice m, à des relations pour lesquelles 

i>/\ A- >/>/?, il/, il h. 

Si maintenant /e < m, on tiendra compte de l'identité, facile 
à vérifier, 

// I /,/// I m ~- //■ I /;//.7| h + // 1 mkli \ l — ij \ ni//i \ /. z= o, 

pour se ramener à de nouvelles relations à dernier indice moindre. 
On raisonnera sur ces nouvelles relations comme sur la première 
jusqu'à ce qu'on soit ramené à des relations normales. 

La conclusion est la même que précédemment. Les relations 
normales, les seules qu'on peut se borner à considérer, sont indé- 
pendantes, et les expressions normales ne sont liées par aucune relation. 

Ces conclusions s'étendraient aux expressions du troisième ordre 
{A.f, ')/„„/■] une telle expression est normale si l'on a 

(3()) <>./, />>A i=^, JIJ, klhlmlr. 



Les invariants d'une forme différentielle quadratique. 

15. Abordons maintenant le problème des invariants d'un ds^ 
vis-à-vis d'un changement de variables arbitraire. 

11 s'agit en somme de trouver les conditions nécessaires et suffi- 
santes pour que deux formes différentielles quadratiques à n va- 
riables puissent être transformées l'une dans l'autre par un chan- 



ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION d'eINSTEIN. 25 

gement de variables. Décomposons la première de la mianière la 
plus générale possible en une somme 2£,co; de n carrés, les w^ étant 
linéaires par rapport aux différentielles des n variables données 
a;j, ...,x„, avec des coefficients fonctions de ces variables et 

de — — variables auxiliaires nouvelles Mj, ..., u n(n-i) . Toute 

forme équivalente à n variables x^, . . . , a;„ admettra une décom- 
position correspondante 2c,(^).' où interviendront - — variables 

auxiliaires nouvelles w^, . . ., U n^n-u . On aura 

0)/= Wi (i = i,2, ...,n) 

en choisissant pour les x^ les valeurs en fonction des x^ qui réalisent 
le passage de la première forme différentielle à la seconde et en 
prenant pour les Ui des fonctions convenablement choisies des x 
et des u. Autrement dit, il existera un changement de variables 

portant sur les — variables x et u transformant chacune à 

chacune les n formes linéaires toi correspondant au premier ds^ 
donné dans les n formes linéaires w, correspondant au second ds^ 
donné. 

Réciproquement, supposons qu'en décomposant les deux formes 
quadratiques données, chacune de la manière la plus générale 
possible, en deux sommes de n carrés 

— 2 

is/d)/ et 26/co,-, 

il existe un changement de variables portant sur les x et les u 
et transformant chacune à chacune les formes w^ dans les formes cd^. 
On voit d'abord que dans ce changement de variables les x ne 
dépendent que des x et non des u. En effet, les égalités 

où n'interviennent que les différentielles des variables x et x, 
peuvent être résolues par rapport à dx^, . . ., dx„, qui sont ainsi 
exprimées linéairement au moyen de dx^, ...,dx„; par suite, 



26 E. CARTAN. 

chacune des variables x est bien une fonction des x indépendante 
des u. Cela étant, le changement des variables x ainsi défini 
transforme effectivement l'une dan« l'autre les deux formes 
données. 

14. La recherche des invariants d'une forme différentielle qua- 
dratique va alors être obtenue en deux temps. Considérons d'abord 

les — — variables x et u: nous chercherons les invariants du 

système des expressions de Pfaff w^, . . ., to,,, vis-à-vis d'un chan- 
gement de variables quelconque; nous donnerons à ces invariants 
le nom d' ini^ariants relatifs. Les inçariants absolus, c est-à-dire 
ceux qui intéressent le problème primitif, s^ obtiendront en cherchant 
tous les invariants relatifs indépendants des variables u. 

Les expressions eu, sont elles-mêmes des invariants (ou plutôt, 
comme on dit d'habitude, des coçariants) relatifs, tandis que la 
forme l£/W,' est évidemment un covariant absolu. Les expres- 
sions (x),j sont aussi des covariants relatifs, puisqu'elles sont déter- 
minées d'une manière unique par les dérivées w- qui sont cova- 
riantes au même titre que les co,. Enfin les dérivées co]^ étant aussi 
covariantes, les formules (i4) conduisent à un premier système 
d'invariants relatifs finis, à savoir les coefficients Af/ de Riemann; 

ils sont au nombre de -• Ce sont les invariants ionda- 

mentaux. 

Les ^ expressions de Pfafî covariantes o),, to,y permettent 

de déduire d'un invariant fini quelconque I une série àHnvariants 
dérivés donnés par la formule 



d\ — \^(,)^ + ... + I„oj„-f-2 I 



IJ ^IJ 
c'y) 



ils sont au nombre de — — • Chacun de ceux-ci peut à son 

tour donner naissance à des invariants dérivés (invariants dérivés 
du second ordre de I) et ainsi de suite. En employant ce procédé 
de dérivation aux invariants fondamentaux Af/, nous obtenons 
une infinité d'invarianls udiivcaux ([ui sont les (Af^')/„ (A^/)/,„„ etc. 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 27 

Nous allons montrer qu'ils constituent le système complet des 
invariants relatifs. 

15. Admettons, ce qui est vrai en général, comme cela sera 
démontré plus loin, que parmi les "" ^'\~ invariants fonda- 
mentaux, il y en a "^"^'^ indépendants (c'est-à-dire qui, pour 
une forme différentielle arbitraire, ne soient liés par aucune rela- 
tion) ; appelons-les invariants fondamentaux principaux. Les 
autres invariants fondamentaux (secondaires) et les invariants 
dérivés du premier ordre des invariants principaux seront, pour 
chaque forme différentielle quadratique, des fonctions déter- 
minées de ces invariants principaux. 

Pour deux formes différentielles équivalentes supposées décom- 
posées de la manière la plus générale possible en carrés, ces fonc- 
tions sont manifestement les mêmes. Mais réciproquement, sup- 
posons que pour les deux formes les invariants secondaires et les 
invariants dérivés du premier ordre des invariants principaux 
soient les mêmes fonctions des invariants principaux. Établissons 
alors entre les variables a; et i* d'une part, et les variables x et u 
d'autre part, les '^'''^^^^ relations indépendantes obtenues en 
égalant chacun à chacun les invariants fondamentaux principaux 
des deux formes. Le changement de variables ainsi défini entraîne 
par hypothèse l'égalité chacun à chacun des invariants fondamen- 
taux secondaires et des invariants dérivés du premier ordre des 
invariants principaux. 

Les formules 



1 n 



d\a-=^^\ak^^k^ 2^ IaA/«/./ « — 



n{n + i) 



A = l \kl) 



OÙ les \j_ sont les invariants principaux, montrent alors que le 
changement de variables considéré entraîne les égalités 

ce qu'il fallait démontrer. 



28 



E, CARTAN. 



Les quantités Af/ et leurs dérivées des différents ordres cons- 
tituent donc bien le système complet des invariants (relatifs). 

IG. Il reste, pour être complet, à combler la lacune du raisonne- 
ment précédent. Nous allons le faire en recherchant en même 
temps le degré (T arbitraire des fonctions qui expriment dans le cas 
général les invariants non principaux au moyen des invariants 
principaux. 

Partons pour cela des équations (i8) et (21), ou plutôt des équa- 
tions obtenues en éliminant les co, et les w,y entre ces équations et 
en y regardant les AJ', (AJ,%, (Af/);t,wj comme des indéterminées 
liées par les relations (i5), (19), (20), (22), (23); cela revient à dire 
qu'on y exprime toutes ces quantités au moyen des quantités 
que nous avons appelées ?ior?ncdes, et que ces quantités normales 
sont regardées comme des indéterminées. 

Une première remarque importante est qu'on peut trouver 

n{n -h 1) , ^ • / o\ 1 • 1 1 Ti 
; équations (ib) permettant de tirer les oj, et les w,y. 11 

suffit par exemple d'associer à chaque combinaison {ij) de deux 
indices i, 2, . . . , n un indice k différent de i, j et n et de consi- 
dérer celles des équations (18) qui donnent dA.',^; on adjoindra à 

ces équations les n équations qui donnent les dA"„] et dA"„- ^Ij. 

Les seconds membres de ces — équations sont linéairement 

indépendants en co/ et co^y : il suffit pour s'en convaincre de remarquer 
qu'ils le sont en particulier lorsqu'on annule toutes les expressions Af/, 
sauf les A;^, et toutes les expressions (A-j)/,, sauf les (A";),- et (A;; ;"Iï}„. 
Les seules quantités non nulles étant normales sont indépendantes. 
Or, dans ces conditions, on obtient 

et les seconds membres sont manifestement indépendants. 

Cette première remarque étant faite, le système obtenu en éli- 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 2q 

minant les 'jo, et les co^^ entre les équations (i8) et (21) pourra être 
considéré comme un système de Pfafî où les variables indépen- 

1 n(« + i) ^•^' A/7 j 4. n{n-\-\) 
dantes seront les -^ quantités A" correspondant aux 

équations qui ont servi à tirer les w, et les co,y (quantités principales) , et 
où les variables dépendantes seront les autres quantités AJ,', les (A-/)^ 
et les [A^D/im, ces quantités étant toujours supposées exprimées au 
moyen des quantités normales , 

Il est facile de voir que si l'on calculait les covariants w^ et w'^ 
des expressions co, et w,y, on retrouverait les expressions (10) 
et (i4). En effet, prenons l'une quelconque des '^—^ équa- 
tions (18) principales et dérivons-la. D'après la manière même 
dont on a obtenu les équations (21), nous aurons, en tenant compte 
de ces équations (21), 



en posant 

k.-n 

II/, — W'/, — ^ £/, \',ik '>'>/cl,\ 
k-l 
li-- n I n 



'U 



D'après les hypothèses mêmes faites sur les équations princi- 
pales, on en déduit 

11/,== o, n,y = o, 

ce qu'il fallait démontrer. 

Revenons maintenant à notre système de Pfaff et dérivons ses 
différentes équations. Les équations (i8) dérivées sont identique- 
ment vérifiées si l'on tient compte des équations (21). Quant à 
ces dernières, leur dérivation conduit manifestement [cf. for- 
mule (24)] aux équations 

m — n 
(30 ^[(>i,n{^';j)/un] = ^> (^/, A-, /, /<=I, 2, ..., /O, 



30 E. CAUTAiX. 

en posant 

(W/ /)/;/«= {^ij )mlt 

P = " 



p = « G ^=n 



p = l 

+ ( Aj^ )/„„ a)/p + ( Ajj)p,„ w/,p + ( Aj/)/,p w,„p] 



-^2 2'P^^^O-)p(A/:'p"+A;;7p)o3, 



p = l cr = i 
p = « ff = rt 



+ (A^|)/.Arp"+(Af;),„A;ï^ 

+ (Af^U A^+ (Af;u Ai^-4- (Aî|),„ AÇ] co^ 

p r=n T^n 

- ^ 2 2 'p î A'/[(AÇ)..+ (A;r)/,] + A?[( a;^)„,+ (Ap,] 

+ APj [( Al'J )„,+ (A^';,^),] + Aj] [(At^:)„,+ (Ap, 1 ; ro,. 

17. C'est la l'orme mente des équations (3i) qui va nous per- 
mettre de démontrer que le système de Pfaff considéré est en invo- 
lution. Il importe d'abord de remarquer que les expressions («^''/)^,„ 
sont liées exactement par les mêmes relations que les quantités 
{^'i,')/,m' D'autre part, la résolution des équations (3i) donne 
évidemment 

( ^ij )ltm ^^ ^ ( ^ij )l"nr ^h-, 
1=1 

OÙ les {a']'i)/„nr s(mt liés par les mêmes relations que les (A|!J)/„„^ 
(ce sont du reste les mêmes quantités). 

Appliquons maintenant la théorie des systèmes de Pfaff. Dési- 
gnons par 

s^ le nombre des expressions indépendantes de la lorme (f^/^O/n» 
51 + ^2 ^6 nombre des expressions indépendantes de la lorme 

«),, et «;),„ 



• ÉQUATIONS DE L.V GRAYITA.TION d'eINSTEIN. 3i 

Sj + S2 + ... + 5/ le nombre des expressions indépendantes de 
la forme (nj^y)/,,,, avec m^i, 

j 

s^ -j- «2 + . . . + 5„ le nombre total des expressions indépendantes 

Comme toute expression (A^ •);;,„ se ramène à des expressions 
normales avec diminution soit de l'un des indices h, m, soit de 
chacun de ces deux indices, on voit immédiatement que : 

kl' 



Sj est le nombre des expressions normales (AJ)^ 
«2 est le nombre des expressions normales {A-j)/,^ 



15 



s„ est le nombre des expressions normales (A^^)^^. 

Pour que le système soit en involution, il faut et il suffit que le 
nombre des coefficients (aJ/)/*/«r indépendants soit égal à 

Or ce nombre est celui des quantités (A^^' )/„„,. qui sont normales. 
Celles de ces expressions normales pour lesquelles on a r =i 
sont en nombre égal aux expressions ( A Jy);^^, normales, c'est-à-dire 

5'i = 5i + 5^ -H . . . 4- s„ ; 

celles des expressions (AJ^'j/^^.^ normales pour lesquelles r = 2 pro- 
viennent des 

•"•'a = '^2 + ^s + • . • + f « 

expressions normales (AjJ)/,,„ pour lesquelles m 1,2, et ainsi de 
suite. La condition 

.v', + .< + ... + .<■= 5, 4- 2^2 + ... + ns„ 

est effectivement vérifiée et le système de Pfaff est en inçolution. 

18. La valeur numérique de s„ est importante parce qu'elle 
indique le nombre des fonctions arbitraires de n arguments dont 
dépend la solution générale du système de Pfaff. Or 5„ est le nombre 



32 E. CaRTAN. 

des expressions normales (A^j ),,,„; on a donc nécessairement 

i z= k =^ h = n, 

et s„ est par suite le nombre des combinaisons avec répétition [jl] 
de n — I lettres deux à deux 

/i(/i — I ) 
s„ = 



La solution générale du système de Pfaff considéré dépend donc 
de — fonctions arbitraires de n arguments. 

A toute solution du système de Pfafî correspondent, d'après ce 
qui a été vu plus haut, — ^^ expressions de Pfafï co,, M/j satis- 
faisant aux relations (lo) et {i4)- Convenons de dire que deux 
formes différentielles quadratiques décomposées en carrés appar- 
tiennent à la même classe lorsqu'il existe un changement de 
variables transformant chacune à chacune les expressions w, rela- 
tives à la première forme dans les expressions crr, relatives à la 
seconde. Nous voyons qu'à toute classe de formes différentielles 
quadratiques décomposées en carrés correspond une solution du sys- 
tème de Pfaff et réciproquement. Les relations qui lient les invariants 
relatifs d'une forme quadratique arbitraire décomposée en carrés 

contiennent donc — fonctions arbitraires de n arguments [et 

naturellement d'autres fonctions arbitraires d'un moindre nombre 
d'arguments). 

La propriété du système de Pfafï (i8) et (21) d'être en involu- 
tion conduit à une autre conclusion intéressante. Ce système 
admet en effet au moins une solution correspondant à des valeurs 
numériques arbitraires des variables, tant dépendantes qu'indé- 
pendantes. Il en est de même pour les systèmes de Pfafî prolongés 
par l'introduction des invariants relatifs des ordres supérieurs. 
Par conséquent, il existe toujours au moins une forme quadratique 
différentielle décomposée en carrés, telle que, pour des <^>aleurs numé- 
riques convenablement choisies des variables x et u, les invariants 



ICQUATIONS DE LA. GRAVITATION d'eINSTEIN. 33 

relatifs normaux correspondants prennent des valeurs numériques 
arbitrairement données. 

Nous connaissons donc, non seulement le système complet des 
invariants relatifs, mais encore le système complet des invariants 
relatifs indépendants, 

19. Si nous nous donnons une forme différentielle quadratique 
à n variables sous la forme 

ds- = 2 o'J ( *■ ) '^^■^i d-^'j > 

avec des coefficients g/y fonctions indéterminées des x, sa décom- 
position en carrés 

i= n 

nous donnera des expressions de Pfafï co^ linéaires en dx^, . . ., dx^, 
avec des coefficients qui dépendront d'une manière déterminée 

des gij et de — ^^ variables auxiliaires u. Les composantes co^y 

de la rotation instantanée de l'espace, provenant d'une dérivation, 
contiendront comme coefficients les dérivées partielles du premier 
ordre des g,^; quant aux invariants fondamentaux A^^^', comme ils 
proviennent de la dérivation des w,y, ils contiendront linéairement 
les dérivées partielles du second ordre des g,y (ainsi que leurs 
dérivées du premier ordre et ces fonctions elles-mêmes, mais non 
plus linéairement). 

De même les (A^^)/, contiendront linéairement les dérivées par- 
tielles du troisième ordre des g/y et ainsi de suite. 

11 est important de savon' si les — ^^ —, invariants 

normaux (A':^^)/, sont des fonctions indépendantes des dérivées 
partielles du troisième ordre des g/y, et plus généralement si 
les invariants normaux, pris jusqu'à un certain ordre p, sont 
des fonctions indépendantes des dérivées partielles des g/y du 



34 E. CARTAN. 

3'""'" au (p + 2)""' ordre inclus. Cela est vraisemblable, mais il faut 
le démontrer rigoureusement. 

Partons pour cela des expressions co, formées comme il a été 
dit plus haut et où nous regarderons les g,j comme des indéter- 
minées. On peut évidemment écrire 

k =: n 
(32) 0J/= £,>^ [CO^CO/,,] 

 = 1 

avec n- expressions de Pfafï oj/^ qui dépendent linéairement des dx^ 
des du et des dgij. Ces expressions ne sont pas déterminées d'une 
manière univoque : nous les prendrons les plus générales possible, 
en introduisant des indéterminées auxiliaires nouvelles qui seront 

évidemment en nombre ^ -^ car de tout choix possible des w,, 

on déduit le choix le plus général en ajoutant à co,y l'expression 

A = 1 

OÙ les indéterminées a^jy satisfont aux seules conditions 
Les équations (32) dérivées conduisent aux formules 

(33) ^'ji = '^'^lA^jk''^u]+^['>^l<^^kji] 

A= 1 

avec de nouvelles expressions de Pfafï i'i/,ji = '^j/<i linéaires par 
rapport aux dx, du, dgij et dccj^ij. Ces expressions, si on les choisit 
de la manière la plus générale possible, font intervenir à leur tour 
de nouvelles indéterminées a^y, dans lesquelles l'ordre des trois 
premiers indices est indifférent. 

Les équations (33) donnent, par dérivation, comme le montre 
un calcul facile, 

p'=n l = n 

(34) ^V.y,=2 ^p[^'>^p '■">?;'• 1 + ep[wyp(.)/,p,-J -t- £p[^J>/p«/.vp] +2 [G)/a)//,y/], 

p=l /=! 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION D^EINSTEIN. 35 

avec de nouvelles expressions de Pfafî co//,^,, dans lesquelles l'ordre 
des trois premiers indices /, k, j peut être changé sans altérer 
l'expression. 

Une nouvelle dérivation donne 



p = « 



p = ' 1 

+ [«/p^^JpAyd + [03/,p0J/py,] + [wypW//,pd + [w/pW/Ayp] ( 
»J =: n 

«1 = 1 

avec de nouvelles expressions (Mmikjh 6t ainsi de suite. 

20. Ces formules générales étant établies, si Von suppose main- 
tenant que les g,y sont des fonctions des seules variables x, on pourra 
(nO o), toujours supposer qu'on a 

(36) W(7+ o)y,=: o; 

les formules (33), comparées aux formules (14), nous donneront 
ensuite 

k = n 1, ... « 

2 [f^A^n-yv] = 2 M'-t^^/'-^^/l' 



ce qui permettra d'écrire 

(3;) ■ o),,./=^2(^î''+A/fî)^^/' 

formule dans le second membre de laquelle les indices A: et / entrent 
bien symétriquement. Ces équations dérivées donnent, en tenant 
compte des équations (34) et (18), 

2 [^^^/co,,,,] ^ i 2 [(Mr)/+ (A^)/- (A^/)„.- ( Av;.)„,] [co,co,„], 

/ = 1 t/m) 



36 E. CARTAN. 

ce qui permettra d'écrire 

m — n 

(38) o,:,j,^ ^ 2 [0^'7')^+ (A/r)/+ (A<7)a-+ (A/;")>t+ (A^DyH- (A^r)y]o.„,, 

7/1= 1 

formule dans le second membre de laquelle les indices /, A' et / 
entrent symétriquement. Les formules (36), (37), (38) sont compa- 
tibles avec des fonctions arbitraires gjj des x. 

21. Revenons maintenant à notre point de vue primitif du n^ 19 

,1 -, • 1 ,. • , T «( /< H- 1) , 

ou les g,y, a/t/y, etc. sont des indéterminées. Les équations 

(36) W/y+0Jy,= O (/,y = I, 2, . . ., «) 

expriment que les indéterminées g/y ne dépendent que de x-^^ . . . , a;„; 
elles sont donc équivalentes à des équations de la forme 

k - n 

(36') ^^..^J^^l'^ docu^o {ij=^, •:>: .^..n), 

où les g^y' sont des fonctions des indéterminées qui figurent dans 
les (o, et ct),y, et nous savons d'avance que les quantités x, u, gij, g'-j 
sont indépendantes. 

Les covariants bilinéaires des premiers membres des équa- 
tions (36') sont 



tandis que ceux des premiers membres des équations (36) sont, 

en tenant compte de ces équations elles-mêmes et utilisant les 

formules (33), 

/■ = « 

2 [^''('^/•v•;"^'^'■■'v)]• 
/, =1 

Il en résulte que les expressions oj/.y,+ coyi,y, à des combinaisons 
linéaires près des to^ et des premiers membres des équations (36), 
c'est-à-dire à des combinaisons linéaires près des dx et des dg^j, 
doivent être linéaires par rapport aux dg\j et, de plus, que par 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 3j 

rapport aux clgl"- , il doit y en açoir autant de linéairement indépen- 
dantes quily a de différentielles dg'f'-', c est-à-dire Or, d'après 

l'égalité de w^t;/ et de Mj^i, on voit facilement que toutes les expres- 
sions (x>},ji se déduisent linéairement des expressions Wyi.y,-f- (0/.,y, et 

leur nombre est précisément — • Par suite, chaque expres- 
sion w^ij est linéaire en dx, dgij, dg'^ et, par rapport aux dg/'j, 
les — - — ' — expressions W/(,y sont linéairement indépendantes. 

Introduisons maintenant - — indéterminées A; ■ liées par les 

12 , ■' 

relations (i5) et considérons les équations 



l = n 
I 



(37) «,;,.:. 3 V(Aîf+Ai;)o.,. 

i=\ 

D'après ce qui vient d'être dit, et d'après ce qui a été vu au 
numéro précédent, le système formé des équations (36) et (37) 
est équivalent au système formé des équations (36') et des nou- 
velles équations 

l = n 

où les gl'j^^g'ij' sont des fonctions des indéterminées qui figurent 

dans les oj„ les w,y et les Mkjh ainsi que des indéterminées A^y, et 

75 ,//-(/? -I- 1 )^ . , .1,/ . , , 

nous savons a avance que tes j quantités g sont mdepen- 

dantes entre elles et indépendantes des x, u, g,j et gf\ 

Les covariants bilinéaires des premiers membres des équations 
du système (36') et (37') se réduisent, en tenant compte de ces 
équations, à 

l—n 
1=1 

Si l'on effectue la même opération sur le système (36) et (37), 
on obtient, en utilisant les formules (34), 



38 E, C\RT\N, 

en posant [cf. formule (i8)] 



^î/=.M^;-V£p(Ajf(,);p+A^jfw,p+AP>,p+AJPwp). 



P = i 



Il résulte de là qu'à des combinaisons linéaires près des Wy et 
des premiers membres des équations (36) et (37), c'est-à-dire à des 
combinaisons linéaires près des dx, dg^j, dgfj, les expressions 



(39) r,i/fj^- -T^y^—-TsJ( 



I 

3 ^J' ~ 3 ^^i 



sont des combinaisons linéaires des dgfp et, de plus, qu'il y en a 
exactement autant de linéairement indépendantes qu'il y a de 

différentielles dg'f/\ c'est-à-dire !!__l^tlL. Or si l'on effectue sur 

l'expression (3g) deux permutations circulaires successives sur 
les indices /, k, l et qu'on ajoute les deux expressions obtenues 
à l'expression primitive, on obtient 3 oj^/^y,; on voit de même que 
tous les ^j/', se déduisent linéairement des expressions (Sg). Or 
les expressions w^/,y, sont au nombre de 



les îTî^,^ au nombre de 

n-{n'- — i) 



les expressions (3g) indépendantes sont donc en nombre total 

n'-{/i -+- i) (n -+- 'i ) /r{ n- — 1 ) // ^ ( /i + 1 )- 

6 12 l\ 

Par conséquent, les expressions ('^/hj/.et m^- sont linéairement indé- 
pendantes par rapport aux dg'/'-'' (et dépendent en outre des dx, 
dgij, dg-^. Si nous portons en particulier notre attention sur les 
expressions gîJ^ et si nous remarquons que ces expressions sont 
égales à dk)'-, à des combinaisons linéaires près des (o,,, c'est-à-dire 
à des combinaisons linéaires près des dx, du et dgij, nous voyons 
qii'i7 ne peut exister entre les différentielles des invariants relatifs 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. Sq 

fondamentaux, considérés comme fonctions des x, u, gij, -j^^ ox'^dx,' 
aucune relation indépendante des dérivées partieUes du second 



ordre * '^ 



dxkôxi \ j 

Autrement dit, les invariants fondamentaux [normaux] sont des 

fonctions indépendantes des dérivées partielles du second ordre des 

coefficients gij. 

Introduisons maintenant ^i!lZilzLi|l^L±^ indéterminées non- 

velles (A^r),, assujetties uniquement à satisfaire aux relations (19) 
et (20) et considérons le système formé des équations (36), (87) et 



h=n 



(38) 

o.M..^= - y [( Ajj').+ (Ai^),+ (Af^),.+ (A//).+ (A^^), + (A^)>] «.. 



ii = i 



D'après ce qui vient d'être dit et d'après ce qui a été vu au 
numéro précédent, ce système est équivalent au système formé 
des équations (36'), (37') et 

(38') dg'i^'^-yg'i'/^'dxn^o, 



ii = \ 



OÙ les gf"'\ dans lesquelles l'ordre des indices supérieurs est indiffé- 
rent, sont des fonctions des indéterminées qui figurent dans les w,, 
les w,,, les w,,,, les co,,,-,-, ainsi que des Aj^ et (k)\),. Nous savons 
d'avance que les '^'^ '^ + ^^n ^ ^^ quantités g^f'^ sont indépendantes 

entre elles et indépendantes des x, w, g,/, gj^ et g^ . 

Les covariants bilinéaires des premiers membres des équa- 
tions (36'), (37') et (38') se réduisent, en tenant compte de ces 
équations, à 



// = n 



^[dx,d^/f^^-\. 



h=l 



4o E. C\RTAN. 

La même opération, efïectuée sur le système (36, (Sy) et (38), 
donne 



h^,r 



// = 1 

en posant 

p=« a=« 
p = i 17 = 1 

Il résulte de là que les expressions 

(j)na-ji et (cî)/)/, 

sont des combinaisons linéaires des dx, des c?g,y, des dg'--, des c^g,/ 
et des dg''^^/'' et que, considérées par rapport à ces dernières quan- 

tites dg ■■ , il doit y en avoir exactement indépen- 
dantes. 

Or le nombre des expressions fo;,/;;.y, est de 

/i-{n H- 1) (/« + •.'.)(// + 3) 
^4 ' 

les vy''j'- sont de leur côté (n^ 1 I) au nombre de 
La somme de ces deux derniers nombres est 

n- [n -{- i){n -\- 2) {n -{- 3) n-{n- — 1 ) ( /* + 2 ) _ n'' { /i + i)- { n -^ :>. ) 

Par conséquent, il n existe entre les (àmtkji et les (ro')/)/, aucune 
relation linéaire indépendante des dg"'j"'\ En particulier, il n'existe 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. ^l 

aucune relation pareille entre les [m''^^.]/,. Autrement dit, il n'existe 

A/ 



aucune combinaison linéaire des d[A''-^^)/, c[ui puisse s'exprimer 



linéairement au moyen des dx, des du, des dg^-j, des dg^^ et 
des dg^]'-. Donc enfin les invariants normaux {P^)))h ^^ sont liés par 
aucune relation indépendante des dérivées partielles du troisième 
ordre des coefficients gij. 

22. Le raisonnement pourrait se poursuivre de proche en proche, 
mais il exigerait des calculs très fastidieux. Nous allons montrer 
par un raisonnement a priori que tout invariant relatif formé avec 
les variables x et u, les fonctions gij{x) et leurs dérivées partielles 
des trois premiers ordres est nécessairement une fonction des seuls 
invariants A^y e^( A^^)^. Il en résultera en particulier, d'après ce qui 
vient d'être vu, que tout invariant relatif formé avec les variables x 
et u, les fonctions gij [x) et leurs dérivées partielles des deux premiers 
ordres est nécessairement une fonction des seuls invariants fondamen- 
taux A^^. 

Revenons, pour la démonstration de ce théorème, au système 
de Pfafî (i8) et (21), Nous savons qu'il admet toujours au moins 
une solution correspondant à des valeurs numériques arbitrai- 
rement données des variables, tant dépendantes cju'indépen- 
dantes. Donnons-nous par conséquent des valeurs numériques arbi- 
traires [a)'j)/f et a^^^ pour les invariants fondamentaux et leurs dérivés 
du premier ordre, et considérons une des solutions correspondantes 
du système de Pfafî. Nous pouvons définir cette solution en pre- 
nant pour les variables, indépendantes et dépendantes, certaines 
fonctions déterminées de '—^ — - paramètres E. Désignons par (AJ')/, 

et Afy les fonctions de ^ obtenues. 

Cela posé, partons d'une forme quadratique indéterminée, décom- 
posée en carrés. Désignons par gjj les coeificients de cette forme et 
par (Aj-)/„ AJJ les fonctions des x, u, gij, -jt^^ etc., qui définissent 
les invariants relatifs. Les équations qui définissent les formes 
(décomposées en carrés) appartenant à la classe choisie plus haut 
sont évidemment (n^ 15) 



(4o) AA/^rA^j, (Aî;).=z(A^j 



l\1 E. CARTAN. 

ce sont des équations où les variables indépendantes sont les H et 
les fonctions inconnues les x, u, gij, gfj, g^j', g'^'/". On peut évi- 
demment les remplacer par le système de Pfafï 



(40 



^'^^v/=^y <A;/^Al^)a)/, 



W/y+ (^ji—- O, 
l = n 

_ V ( T^/ :_ 177. 1 , , . 
3 






p = l 



En effet, les équations (36), (37) et (38) montrent que les équa- 
tions (4i) entraînent les équations (4o) et réciproquement. 

Or le système (4i) est en iiwolution, car les équations quadra- 
tiques extérieures qui en résultent par dérivation sont, d'après les 
calculs faits au n^ 21, 

l = n 

(42) ^[''^l'^lhji} =0, 

/= 1 

/, = n 

(43) V[,3,(-^]:=0, 

en posant 

/, = « 

nî/Av, = W//V/- "i^ 2 [^^^' -+- (Â?^+ ^Â]J]I-+ ÔWÛ-+- (Â^+ (XffYjl 0),. 



// = i 



Or, d'après la discussion qui a été faite du système de Pfaff (18) 
et (21), les équations (4i) écrites à la dernière ligne entraînent 
pour les d{Ay■),^ des expressions de la forme (21), où les quantités 
seraient surlignées et par s.uite, d'après la définition même de {^'ij)hj 
les équations (43) sont identiquement vérifiées. Il ne reste donc à 
considérer que les équations (42) dont la forme met en évidence la 
propriété du système de Pfaff (4i) d'être en involution. 

25. Le système (4i) étant en involution admet au moins une 
solution correspondant à des valeurs numériques arbitrairement 
données des variables indépendantes ^ et des variables dépen- 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. /|3 

dantes x, u, g,,, g^!^, gf/', (g^) ^«^^ ^'' .^^^^^ condition que ces 
chaleurs numériques satisfassent aux relations (4o). Donnons en 
particulier aux l les valeurs numériques ^" pour lesquelles les inva- 
riants A^^ et {A^/j)h prennent les valeurs numériques données a^/j 
et (a-O// et considérons un invariant relatif quelconque de la 
forme 

cet invariant gardera sa valeur numérique si l'on change arbi- 
trairement les valeurs numériques de ses arguments, sous la seule 
condition que les nouvelles valeurs numériques donnent aux 
invariants kf^ et {A^j)a les mêmes valeurs numériques. Autrement 
dit, V invariant I est une fonction des seules quantités A-^ et (A-^)/,. 
C'est ce qu'il fallait démontrer. En particulier, comme nous l'avons 
déjà fait remarquer, tout invariant relatif contenant les dérivées 
partielles des g^j jusqu'au second ordre au plus est une fonction des 
seuls invariants fondamentaux k-^. 

D'une manière plus particulière encore, si Vinvariant I est linéaire 
par rapport aux dérivées partielles du second ordre des g/j, cest une 
fonction linéaire à coefficients constants des AJ -. 

Ce résultat, qu'on pouvait regarder a priori comme très vrai- 
semblable, et qui a une très grande importance dans la théorie de la 
relativité généralisée, est ainsi démontré rigoureusement. 

Les invariants absolus d'une forme différentielle quadratique. 

2i. Arrivons maintenant à la détermination des invariants 

absolus. 

1 n{n — I ) 
Un premier procédé théorique consiste a partir de 

invariants fondamentaux qui soient des fonctions indépendantes 
des variables auxiliaires u et à particulariser la décomposition 
en carrés de manière que ces invariants prennent des valeurs numé- 
riques fixes données. On obtient ainsi pour les u des fonctions 
déterminées des x; en portant leurs valeurs dans les autres inva- 
riants relatifs, on obtient évidemment le système complet des 



4^1 E. CARTAN. 

invariants absolus. Seulement ils se présentent en général sous 
forme irrationnelle. 

La méthode précédente met en tout cas en évidence ce fait qu'il 

y a 

/i^{n- — I ) n{n — i ) n{n — \) ( n — 2) {n -\- o) 
12 2 ] 2 

invariants absolus fonctions des invariants relatifs fondamentaux. 
11 nous sufTit pour la suite de savoir déterminer ces 

fi{n — i) (il — 9.) (n -h 5) 

I 9, 

invariants absolus. Considérons pour cela la forme différentielle 

où le point indique une multiplication algébrique ordinaire. C'est 

en somme une forme quadratique ordinaire des va- 
riables [cO,CL)y]. 

Les variables u n'entrent que dans les coefficients de cette forme, 
supposée développée suivant les quantités [dxidxj]. Calculons 
la variation de $ pour une variation arbitraire des u, les x restant 
fixes. Désignons par le symbole de cette variation. 

On a, en utilisant une notation déjà employée, 

a)^=o, 

Ô03'/= OC)':— d(,//= — £,2 ^A/Wa, 

Ô [ 0)/ (Oy ] = — 2 £y ('>Ay [ ^h- Wa- ] — 2 £«■ &)!,• [ ('ik Wy ] , 

puis, d'après (17), et en remarquant que Q.'-- est nul, 

k=zn 



ÉQUATIONS DE LA. GRAVITATION d'eINSTEIN. 4^ 

d'où enfin 

Ô<1» = — 2 £y o4-/ [W,CJ/,] i2/y —^ Si o4 . [OJ/, «y] ^,j 

En échangeant dans la première somme les indices de sommation 
/ et k et dans la seconde les indices i et k, on voit immédiatement 
que le second membre est nul. 

Autrement dit, la forme $ est un covariant absolu (^), 

21), La recherche des invariants absolus, fonctions des invariants 
relatifs fondamentaux, revient alors à la résolution d'un problème 
de Géométrie analytique. 

Regardons provisoirement (o^, Wg, . . . , w,j comme les coor- 
données homogènes d'un point dans un espace projectif k n — i 

dimensions; nous pouvons alors regarder les expres- 
sions [wycoy] comme les coordonnées plûckériennes d'une droite 
dans cet espace. Il^s'agit alors de troui^er les invariants de la forme 
quadratique plûckérienne 

(43) iP="^\1j[r^,,^j][^,^,l 

lorsqu'on effectue sur les coordonnées ponctuelles une substitution 
linéaire consentant la forme ^s^wj. 

D'une manière moins précise et pas tout à fait exacte, il s'agit 
de trouver les invariants d'un complexe quadratique de droites vis- 
à-vis du groupe des transformations projectives qui laissent inva- 
riante la cjuadricjue ^ £,ojJ =o. 



(^) C'est la funne qiiadrilinéaire classique introduite ]iar E.-B. Christ ofïel dans 
son Mémoire : Ucber die Transformation der lioniogcncn Differetitialausdriicke 
zweiten Grades {Journal de Crelle, t. 70. i86g, p. /jG-jo). Les (A,y )/, sont de même 
les coeiïicients d'une forme covariante à cin | séries de diflérenticlles, et ainsi de 
suite. 



46 E. CARTAN. 

Analytiquement, on peut remarquer que, pour toute substitu- 
tion linéaire conservant la forme 7 S/wJ, les coefficients de <P 

subissent une substitution linéaire appartenant à un certain groupe. 
Les transformations infinitésimales de ce groupe sont précisément 
données par les formules (18), d'après lesquelles on a 

Les transformations infinitésimales qui engendrent le 

groupe sont caractérisées par les valeurs e,^ des constantes co'"^. 



26. II existe une combinaison linéaire à coefficients constants 
s A'ij qui est un invariant absolu, à savoir 



et c'est la seule : c'est la courbure totale de Riemann. 

Il existe en outre une forme quadratique en co, qui est aussi un 
covariant absolu, c'est la forme 

qui se déduit de <E> par saturation des indices [Verkûrzung] ; il en est 
de même plus généralement de la forme quadratique 

9 + (aA + (3)V £,oj,?, 

où a et p désignent deux constantes arbitraires. 

Dans le cas général n > 4? l^i théorie que j'ai développée des 
groupes linéaires ne laissant invariante aucune variété plane per- 
mettrait sans trop de difficulté de démontrer qu'on peut trouver 

/i* ( //^ — I ) /i ( /t -I- I ) ^ /j ( /i 4- 1 ) ( /i _^_ 2 ) ( /? — 3 ) 
12 2 12 



ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION d'eINSTEIN. 47 

combinaisons linéaires des A^y indépendantes entre elles et indé- 
pendantes des coefficients de la forme o, qui sont transformées 
entre elles par le groupe considéré sans quil soit possible d'en 
trouver un moindre nombre jouissant des mêmes propriétés. 

27. Le cas i^ =4? qui intéresse la théorie de la relativité géné- 
ralisée, mérite d'être traité en détail. Ici la forme quadratique 
fondamentale est, comme on sait, 

(j)\ — 0)f CO3 + w^. 

Avec l'interprétation géométrique indiquée plus haut, elle 
définit, égalée à zéro, une quadrique réelle non réglée (quadrique 
fondamentale). Cette quadrique admet deux systèmes de généra- 
trices rectilignes imaginaires conjuguées; chacune des génératrices 
du premier système, rencontrant trois génératrices fixes du second 
système, appartient à trois complexes linéaires dont les équations 
sont faciles à obtenir. Soit en effet 

co, 4-/(00 -l-?v(w3+ (11)4) =:o, 

7. ( OJ , i OJo) W3 -t- «4 ^z o 

les équations d'une génératrice quelconque du premier système; 
les coordonnées plùckériennes de cette droite sont, avec les nota- 
tions indiquées plus haut, 

[^')2W3] ['')3'')l] [WlO),] [f'>I^J»i] __ [riJoCOi] [W3CJ4] 

I — A- ^ /(i + A2) ~ 2/. ~ iO'—i) ~ >.' + 1 ~ —2 il ' 
Les trois complexes cherchés sont donc définis par les équations 

!Çl^[w2W:j] /[i-j), on] = O, 
43;^ [«iW-.] — ^'[0)30)4] — O. 

Les génératrices rectilignes du second système appartiennent 
alors aux trois complexes linéaires définis par les équations 

, Y), = [gJ2W3] -t- «[cOjCUi] = o, 

(45) • . Yiî^ [W3W1] H- «[a)2«x)4] = O, 

' Y)3^[coia)2]-l-i[a)3 0Jv] = o. 



4^ E. CARTAN. 

Effectuons maintenant un changement de coordonnées pliické- 
riennes de la droite en prenant pour nouvelles coordonnées les 
six quantités ^^ et -q,-. La relation à laquelle satisfont les six nou- 
velles coordonnées d'une même droite est maintenant 

(46) ^-^B-i-çi=r,^ + r,z ^-nl. 

Le complexe quadratique des droites tangentes à la quadrique 
fondamentale est manifestement défini par l'équation 

(47) Ht + Ç2 + ^3+-^t-+--^J2-+--^' = o- 

Cette équation est en effet vérifiée par chaque génératrice de cette 
quadrique, puisque chaque génératrice, du premier système par 
exemple, ayant ses coordonnées ^ toutes nulles, la vérifie en vertu 
de (46). Toute droite tangente à la quadrique en un point défini 
par l'intersection des deux génératrices 

(O, O, O, Yli, Oi: -n-i), (^1, 1-2, Iz, O, O, O) 

a pour coordonnées 

(>.;,, lli, II,, /arj,. ^-r,.,. p.-,';,) 

et par suite satisfait aussi à l'équation (47)- 

28. Remarquons maintenant que toute substitution linéaire 
conservant la forme fondamentale — to; — coi; — wi;+ co; se traduit 
évidemment par une substitution linéaire orthogonale sur les H et 
par une substitution linéaire orthogonale sur les T^ (à moins qu'elle 
n'échange les coordonnées ^ avec les coordonnées y), mais nous ne 
considérerons que les substitutions qui n'échangent pas entre elles 
les deux systèmes de génératrices de la quadrique fondamentale). 
Ces deux substitutions linéaires sont naturellement à coefficients 
complexes conjugués. 

Avec les nouvelles coordonnées de la droite, la forme covariante <î> 
se décomposera .en une somme de trois formes respectivement 
covariantes : 

1° Une forme quadratique / (^j, Hg, Ç3); 

2° Une forme quadratique (complexe conjuguée) /' (y]i, y]2, "^13); 



ÉQUATIONS DE L.\ GRAVITATION d'eINSTEIN. l\C) 

3° Une forme d'Hermite '^(^i, ^2? ^3 5 "^iu "'125 '''iz) bilinéaire par 
rapport à chaque série de variables et prenant des valeurs numé- 
riques réelles quand on donne aux variables des deux séries des 
valeurs numériques complexes conjuguées (c'est cette propriété 
qui définit une forme d'Hermite). 

En effectuant le calcul, qui n'offre aucune difficulté, on trouve 

-2(A^?H-A]î-f- l\\i-i^ll)lU] 
'2'ha;-n)=. (A^^ + A;n;.Y/, + (An-A?^-iA|'-/A^l)::,Y.3 

+ (A't-Â^^ + M^^ + iA;i);,yi, 
' ^ {Al\ -^ Ml}h-n,+ (Ml - K\- iH\ ~ l m)^,-n, 
-H(A^|-Ai^-^A^* -Mjnç.v;, 

Nous remarquerons que la somme des coelficients de c] -\- z', -\- z'I 
dans /(;) est réelle. On peut alors écrire 

O = 7^ A(ç2 + ^ -^ ,;2 ^ .^^2 _^ ^2 ^ Y)^ ) -h 7(^) ^ f{-n) + 'b{i\ -n ), 
en désignant par A la courbure totale 

et en posant 

7(0-/(;)-7^A(;f + ç^ + çi); 

la somme des coefficients des termes carrés dans /(;) est alors 
nulle. 

Quand on effectuera sur les H une substitution orthogonale, 
les cinq coefficients complexes de /(H) seront échangés linéaire- 
ment entre eux sans qu'on puisse trouver /i < 5 combinaisons 
linéaires indépendantes de ces coellicients qui soient aussi échangées 
entre elles. 



DO E. CARTAX. 

Les invariants fondamentaux relatifs de la forme différentielle 
donnée peuvent ainsi se distribuer en quatre groupes : 

1° L'invariant absolu A; 

2® Les cinq coeflScients complexes de /( H) ; 

3** Les cinq coefiBcients complexes conjugués de f(r); 

4*' Les neuf coefficients 'réels ou deux à deux imaginaires con- 
jugués) de -Ki; rj. 

Toute substitution linéaire sur les w, échange entre eux les inva- 
riants relatifs de chaque groupe et il est facile de voir que ces 
groupes sont indécomposables en d'autres dont ]ê- «éléments soient 
séparément échangés entre eux. 

29. Nous avons introduit dans le cas général, au n** 26, la forme 

quadratique covariante 

et plus généralement 

Si l'on détermine le coefficient a par la condition que la somme 
des coefficients des termes en £,017 soit nulle, ce qui donne 

\' -- 2 

.m^ ' ' n 

les — — — — — I coefficients restants sont échangés entre eux sans 

qu'on puisse en trouver des combinaisons linéaires en moindre 
nombre qui jouissent de la même propriété. 

Ici — — I =9; les coefficients qui restent sont donc néces- 
sairement des combinaisons linéaires indépendantes de la forme 
d'Hermite l{ç; r,). On a en effet 

n' '/A«î_u4'* A'* \'* -*- A'» s- \**lf.»j_ 

^2(A»;-A|î)«,5y, - ... -Q(A|t+AJÎ)«-:'-»i- •• 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 5i 

et l'on retrouve sans difficulté, mais avec d'autres combinaisons, 
les coefficients de la forme d'Hermite .j;(:; yj). 

Il doit y avoir d'après cela une relation géométrique importante 
entre la forme quadratique z>' et la forme d'Hermite 'h. Cette relation 
peut être mise en évidence sous différentes formes. D'abord l'équa- 
tion obtenue en annulant la forme d'Hermite j/ définit un complexe 
quadratique de droites auquel appartiennent manifestement 
toutes les génératrices de la quadrique fondamentale (puisque 'j» 
s'annule en même temps que les H et aussi en même temps que 
les Y]). Considérons une génératrice G du premier système de la 
quadrique fondamentale (o; y]"); l'équation linéaire en Çj, ^g? ^3 

jointe à l'équation 

çr + Ç2 + l' = o, 

définit deux génératrices du second système, qui coupent la géné- 
ratrice donnée G en deux points; ces points jouissent évidemment 
de la propriété que toute tangente en un de ces points à la qua- 
drique fondamentale appartient au complexe quadratique. Quand 
la génératrice G varie, ces points engendrent une biquadratique 
gauche, à laquelle correspond un faisceau de quadriques : la qua- 
drique o'==o fait partie de ce faisceau. 

Mais le complexe quadratique ']/ = o peut être défini par une 
propriété géométrique simple le rattachant à la quadrique fonda- 
mentale et à la quadrique z>' = o. Partons en effet a priori d'une 
quadrique 

«11 ^^1 + an'i^l -\- «33 W3 + «44''jl)4 + 2rt23«2'^3-t-- . •+ 2aiiCO,0L>iH- . . .= o, 

et cherchons l'équation du complexe des droites qui découpent sur 
cette quadrique et sur la quadrique fondainentale deux segments 
formant une division harmonique. Un calcul facile donne pour 
l'équation de ce complexe 

«II ; [w,ûj.>]^ + [wiojsj^ — [w, w.]2{ +. . . 

-f- 2 ((,.i \ I 0), CO., ] [ 0», W;i 1 - [ (O4 W.j I [ C.J4 0)3 1 { 4- . . . 



J2 E. CAHTAN. 

OU, en introduisant les coordonnées H et Tj, 

-(«11+ «22+ «33— «44) (^? +^2 +^f +-0' +ril -i-Til) 

4- (r/22+ «:î3+ «44— «ll)4rfll— 2((7io— m3.)£,ri2— 2 ((73,+ <«24)^lYÎ3 

— 2(a,2+ ««44)^2 TOl+ («33 + «11+ «44— «22)4'2'«2— 2(^23— <«14)t2Tn3 

— 2(rt3i — /a24)t3"^i — 2(^23+ mii)£3rj,+ («i, + «22 + «44— «33)^3 "^3= o- 

En identifiant cette équation avec l'équation ■]; = o, on retrouve 
pour les a,j les coefTicients de la forme o'. 

Par conséquent, la relation géométrique entre la forme quadra- 
tique z»' et la forme d'Hermite '>J> est la suivante : le complexe 
quadratique de droites obtenu en annulant la forme '>[/ est celui des 
droites qui découpent sur la quadrique fondamentale et sur la qua- 
drique o' ^= o deux segments formant une division harmonique. 

50. On peut encore associer les formes ./ et /' à des formes 
binaires et la forme sp à une forme doublement binaire. On peut 
en effet exprimer les coordonnées ç^, Ç25 ^3 d'une génératrice du 
second système de la cpiadrique absolue au moyen d'un paramètre, 
ou de deux paramètres homogènes m^, Ug, par exemple par les 
formules 

ii = «i — "2, i;2 = <(«i + «2 )) Çi = 2Mi»2; 

on aura de même pour toute génératrice du premier système 

"^i=''T— 'i- -fi^_ = -— i{i-'] ^ i>\), -na^gcir.. 

Toute substitution orthogonale sur les ^ se traduira par une 
substitution linéaire à déterminant égal à i effectuée sur les deux 
variables u^, Wg- Quant à la forme /(^), elle devient une fornae 
biquadratique binaire en w, 9\ la forme f'{r^) devient la forme 
biquadratique binaire en v-^, v^ dont les coefficients sont com- 
plexes conjugués de ceux de la première; enfin la forme d'Her- 
mite <]/(H, 7]) devient une forme cjuadratique en (u^, 1*2) et quadra- 
tique en ((^j, ç'g)- 

Les vingt coefficients A'-y de Riemann se répartissent ainsi en 
quatre groupes dont chacun comprend un certain nombre de 
combinaisons linéaires de ces coefficients : 



ÉQUATIONS DE I-A GRAVITATION d'eINSTRIN. 53 

lO La courbure totale A; 

0.0 Les cinq coefficients complexes d'une forme biquadratique 

binaire F (w^, U2) ; . 

30 Les cinq coefficients complexes conjugués de la forme biqua- 
dratique binaire conjuguée F' {^i, ^2) ; 

40 Les neuf coefficients, réels ou deux à deux complexes conju- 
gués, d'une forme W{u^, u^; ^i, ^2) quadratique par rapport à u^, 
1*2 et quadratique par rapport à i^^, v^. 

La signification géométrique des variables Wj, u^ est classique : 
le rapport — désigne le nombre complexe qui sert à définir la 
position d'un point réel sur la quadrique fondamentale. Toute 
transformation projective de la quadrique fondamentale en elle- 
même se traduit en effet par une transformation projective à 
coefficients complexes sur |-^- L'équation ^F = o définit sur la qua- 
drique fondamentale une courbe qui n'est autre que la biquadra- 
tique considérée plus haut, 

51. La recherche des invariants absolus, fonctions des A-y, 
revient maintenant à un problème classique de la théorie des 
formes. En particuHer, la forme F donnera deux invariants ration- 
nels, l'un du second degré, l'autre du troisième degré; la forme F' 
donnera les deux invariants complexes conjugués. 

Ces invariants s'obtiennent du reste aussi facilement en partant 
de la forme quadratique /( E) : il suffit, comme on sait, de considérer 
la somme des mineurs principaux du discriminant de cette forme, 
ainsi que ce discriminant lui-même. La forme '|, ou plutôt la 
forme 9' qui lui est équivalente, donne de même un invariant 
quadratique, un invariant cubique et un invariant biquadratique 
par la considération du discriminant et de ses mineurs principaux : 
ce sont les coefficients des différentes puissances de \ dans l'équa- 
tion obtenue en annulant le discriminant de la forme 

cp'+X(— wj — w^ — 00^ + wrj. 

En dehors de ces sept invariants (ou plutôt huit en tenant 
compte de l'invariant A) fournis par la considération isolée de 



54 E. CARTAN. 

chacune des formes /, /', j^, il y en a six autres (mixtes) formés avec 
les coefficients de plusieurs de ces formes. Nous n'insisterons pas 
davantage sur cette question. 

52. Ce qui est plus intéressant pour les applications à la théorie 
de la relativité généralisée, c'est la résolution du problème sui- 
vant : 

Troui^er, de la manière la plus générale possible, dix combinaisons 
linéaires à coefficients constants R,-, des quantités A^y qui soient échan- 
gées entre elles comme les coefficients d'une forme quadratique quand 
on effectue sur les w, une substitution linéaire conservant la forme 
fondamentale — (ii'\ — co^ — wij -\- to";|. 

Autrement dit, construire une forme quadratique covariante 

dont les coefficients soient des combinaisons linéaires à coefficients 
constants des P^)'j. 

Nous avons déjà obtenu une solution de ce problème, à savoir 
la forme quadratique 

X(p'+ («A -I- (3) ( — b)] — (jii — f,)^ + w";), 

où X, a et (3 sont trois constantes arbitraires. 

Il est facile de voir que le problème ne comporte pas d'autre solu- 
tion. 

Soit en effet 

une forme quadratique covariante; posons 

'^/y = ^^U — 7 ^ij I^ (£'7 = o si f ^y ; £» , = £2-> == e-ts = — i ,£,.; = + i ) ; 
on ])eut alors écrire 

<^ =-r R( — M-^ — 0)^ — fx)'l + (^l) -+-7 H/yrj),a)y, 



ÉQUATIONS DE LA GHAVITATIO>- D^EINSTEIN. 55 

et l'on a 

La quantité R est, comme on sait, un invariant absolu ; par suite, 
par sa propriété même d'être une combinaison linéaire des Ajj, on a 

R = aA + [3. 

Quant aux quantités R,j, elles dépendent linéairement de neuf 
d'entre elles que nous pourrons, sans préciser davantage, dési- 
gner par __. 

R,, R2, • . . , Rg- 

Elles subissent entre elles une transformation linéaire quand 
on effectue une substitution linéaire quelconque conservant la 
forme — w' — w; — fo;+ wj, et il est impossible de trouver h< g 
combinaisons linéaires indépendantes des R, jouissant de la même 

propriété. 

Chacune des neuf quantités R, peut se mettre, d'une manière et 
d'une seule, sous la forme 

r]— H,+ K,+ Li+cciK -f- [3/, 

où H, est une combinaison linéaire et homogène des coefHcients 
de la forme /(H), K, une combinaison linéaire et homogène des 
coefficients de la forme f(r^), L, une combinaison linéaire et homo- 
gène des coefficients de la forme '}(^; y)), a, et [3, enfin des cons- 
tantes. 

Quand on effectue sur les co, une substitution linéaire conser- 
vant la forme — w; — w"^ — w;; + w;, les quantités R, subissent 
entre elles une substitution linéaire; il en est de même des coeffi- 
cients de la forme /(H), de ceux de la forme f (tj) et de ceux de la 
forme 4^(H; •^). Si les H, ne sont pas tous nuls, comme la forme f{c) 
contient cinq* coefficients indépendants, il y aura un certain 
nombre h{/i'Sh < g) de combinaisons linéaires indépendantes 
des R^ qui ne contiendront pas les coefficients de la forme /(?) : 
nous pouvons toujours supposer que ces combinaisons sont pré- 



5f) E. CARTA.N. 

cisément Rj, . . . , R/,. Mais cela est impossible, car si par exemple, 
par une substitution linéaire arbitraire laissant invariante la 
forme — co^ — wi; — w^ + to'l, la forme linéaire H^ était changée en 

les coefficients )^/,x,, . . ., A^ devraient être tous nuls, puisque K^ 
est changée dans une combinaison linéaire des CoefTicients de /'(tj), 
L^ dans une combinaison linéaire des coefTicients de •]> (E; -q) et 

que A est conservée. Il faudrait donc que les quantités R^, R2, ..., R/, 
fussent échangées entre elles par une substitution linéaire quel- 
conque du groupe considéré, ce que nous avons vu être impos- 
sible. 

Le raisonnement précédent montre que tous les termes H, sont 
nuls; on verrait de même que tous les K,- sont nuls, ainsi que tous 
les coefTicients a^ et p,. Par suite, les R, sont des combinaisons 
linéaires des coefficients de '|>(ç; '/]) ou, ce qui revient au même, 
des coefficients de 9'(w). 

Considérons alors la forme quadratique 

qui est, par hypothèse, covariante quelle que soit la constante X 
et dont les coefficients sont des combinaisons linéaires et homogènes 
des neuf coefficients de ^'(w). Déterminons la constante A par la 
condition que les neuf coefficients de co^, to',, ro^, (o,(d^, soient 
linéairement dépendants, ce qui est toujours possible. Si ces nou- 
veaux coefficients n'étaient pas tous nuls, on aurait /i < 9 combi- 
naisons linéaires indépendantes des coefficients de o' qui seraient 
transformés linéairement entre eux, ce que nous savons être impos- 
sible. Il faut donc que la forme quadratique écrite ci-dessus 
devienne identiquement nulle pour une valeur convenablement 
choisie de la constante A, C'est précisément ce que nous {Voulions 
démontrer. 

En définitive, toutes les formes quadratiques covariantes absolues 
dont les coefficients sont linéaires par rapport aux A'^, sont données 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 67 

par la formule 

{li8} >.2 £/Agc.vcj/, + U^ ^i-j^'ij -^^ji — ^l — '^^l - «' ■+ '^l ^ 

aP6c trois constantes arbitraires a, p, X. 

55. Les équations de la gravitation d'Einstein sont en rapport 
très étroit avec le problème qui vient d'être résolu. Étant donné 
un ds- a quatre variables 

ds- = >^ g-,/,- ( jo ) dxj dxi; 

réductible à la forme — w; - w; — wj + co;, les équations de la gra- 
vitation d'Einstein sont de la forme 

où les G,A sont les coefTicients d'une forme différentielle quadra- 
tique covariante 

4>=2 ^'ikdxidjc/c. 

Einstein admet que ces quantités G,a sont des fonctions déter- 
minées des variables x, des fonctions g,yi {x) et de leurs dérivées 
partielles du premier et du second ordre, et qu'elles sont linéaires 
par rapport aux dérivées partielles du second ordre. La forme 

2] G^/A (^f^^i dxi, 

doit être covariante : cela signifie que si Von effectue sur les x une 
transformation arbitraire 

et si par cette transformation on a 

2 ^''■'^■(•^^ ^'^' '^•^'^ "2 ^'■'^ ^"^^ ^•^' ^■''*' 



58 


E. CARTAN. 




on a en même temps 






i:g,.( 


\. ., ,^^N ^m^ ^V^«P ' 


) rfo-/ dxk 


=2 Gm 




1 dxjdx,,. 



Pour obtenir toutes ces formes quadratiques covariantes, ima- 
ginons que nous ayons décomposé, de la manière la plus générale 
possible, la forme donnée <:^s- en quatre carrés — '-o'^ — coi; — w!; +^"^^5 
les coefficients des quatre expressions de Pfafï seront des fonctions 
déterminées des g,/, {x) et de six variables auxiliaires u^, . . ., u^. La 
forme $ pourra alors s'exprimer comme forme quadratique en w^, 
Wg, CO3, co,,, soit 

où les R,fc sont des fonctions déterminées des x, des u, des gii,{x), 
de leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, les dérivées 
du second ordre entrant linéairement. La forme tp étant par hypo- 
thèse un covariant absolu et les expressions w, étant des covariants 
relatifs, chacun des coefficients R^^ est un invariant relatif et par 
suite, d'après ce qui a été démontré au n° 25, une combinaison 
linéaire à coefficients constants des im^ariants fondamentaux K^^. 

La forme d^ Einstein yiG,,^dx,dx/^ est donc nécessairement de la 
forme (48) 

/ ...... 4 V 

^Gf^dxidx,,^}. y^ £,A;5r,)yO)/,+ ( a ^e/SyA;/^ [3 ) (~ w^— oH — oj -f-oj:). 



54. Avant de particulariser les coefficients constants a, p, X par 
la condition que la loi de conservation soit respectée, faisons 
quelques remarques sur ceux des invariants fondamentaux qui 
n'entrent pas dans les équations de la gravitation. Ces équations 
font intervenir seulement la courbure totale A et les coefficients de 
la formie d'Hermite •>}^(H; -f]), mais pas ceux des formes quadra- 
tiques /(^) et /'(yj). Les dix équations, linéaires par rapport aux 
dérivées partielles du second ordre des g,^, qu'on obtient en annu- 



ÉQUATIONS DE LA GRAVITATION d'eINSTEIN. 69 

lant les coefficients de ces formes, ont évidemment une signifi- 
cation invariante absolue. Ces équations sont, en se reportant aux 
expressions de f{l) données (n^ 28) 

A 23 AU A31 A24 A12 A3 4 

^23 '^l'. -^3 1 "^2 4 '^ 1 2 -^3'. > 

A 2 1 A 31 ^ 

J^l\ — \l\ = All-A\^ = X\l-A^l = o. 

On peut démontrer qu'elles expriment la réductibilité du ds'- 

à la forme 

p{dXl~dXl —dXl — dXl); 

autrement dit, elles expriment que la propagation de la lumière se 
fait suivant les mêmes lois que dans la théorie de la relatiç>ité restreinte. 
D'une manière plus générale, les dix invariants fondamentaux 
fournis par les coefficients de /(H) et /'(•^) sont des invariants 
relatifs, non seulement pour la forme l^gijdxidxj, mais encore pour 
V équation obtenue en l'égalant à zéro. 

La loi de conservation et les équations de la gravitation. 

5o. Le tenseur gravitationnel G//( est considéré arbitrairement 
comme formé des coefficients d'une forme quadratique cova- 
riante ^CciJ^dXidx,^. C'est ce que nous avons fait jusqu'à présent. 
Mais il peut y avoir intérêt à le considérer d'un autre point de vue. 

Revenons à l'origine physique de la notion de tenseur. Étant 
donné un milieu élastique dans l'espace euclidien, sur chaque élé- 
ment de surface du milieu ayant pour composantes 

Idydz], [dzdx^^, [ff^dy] 

suivant les plans de coordonnées, il agit une tension (un vecteur) 
dont les composantes suivant les trois axes de coordonnées sont 

PxxVdy dz]-^ Pxy[dz dx'\ + pjcz[da- i/j], 
Pyx[dy do] + Pyy{dz dx] + Pyz[dx dy], 
Pzx [ dy dz ] + j3. V [dzdx] + p„ [ dx dy ]. 



6o E. CARTAN. 

Ce tenseur est symétrique si le tableau des coefficients est symé- 
trique. 

Au lieu de représenter le tenseur dont les composantes sont les 
quantités j^j.^, etc., au moyen de la forme quadratique 

Pxx (i-^- + 2 p-cy Clxdv +. . ., 

on peut le représenter, d'une manière plus conforme à sa nature, 
par la projection de la tension elle-même sur un axe de cosinus 
directeurs indéterminés ç, yj, C. On aura alors la forme 

ii = ; ; Pxx [ dy dz ] + p^y [ dz dx ] 4- p,,. [ dx dy ] ; 
+ -fi ; Pxx [ à y dz ] -4- pyy [ dz dx ] + py.^ [ dx dy ] ; 
+ Ç ; Pzx (dy dz^ + p. y [dz dx] + p.. [dx dy] [ . 

Au fond^ Q. est la quantité sous le signe / / dans l'intégrale qui 

exprime la somme des projections sur Vaxe (H, y], C) des tensions élé- 
mentaires exercées sur une surface donnée. 

Si l'on regarde la direction (H, r^, l) comme fixe, et qu'on prenne 
le covariant trilinéaire de l'expression Q, on obtient 



O' 



r{àpa:x Opj:y Opa:-\ 

^\ dx dy dz ) 






<'^'-%^-^^)-H%-'- 




' dz 



[dxdydz], 

c'est-à-dire la projection sur l'axe considéré de la force de volume 
élémentaire équivalente aux tensions du milieu élastique. 

Le tenseur O est dit satisfaire à la loi de conservation si sa 
dérivée il' est nulle, quelle que soit la direction fixe (H, y], 'Ç). 

En particulier, si l'on a affaire à un fluide parfait à pression 
constante, 

Pxx=Pyy— Pzz = P = OOnSl., p,,— p,^.=zp^y= O, 

le tenseur Q. se réduit, à un facteur constant près, à 

^ = c[ dy dz] -t- nldz dx] -^ <:[dx dy], 

et l'on a 

o — r. 



ÉQUATIONS DE LA. GRAVITATION d'eINSTKIN. DI 

Le tenseur précédent se déduit très facilement de la forme qui 
donne le volume élémentaire 

Jl=z[dxc/rdz]; 

c'est ^„ 

^ , dii dïi , , ^n . 

- - ^^JpT] ^ '" ôïd^î "à[dz] ' 

sous cette forme sa signification invariante (c'est-à-dire indépen- 
dante du choix des axes) est mise en évidence. 

56. Revenons au tenseur gravitationnel G^. Nous regarderons 
ses composantes comme des coefficients entrant dans l'expression 
de la projection sur une direction fixe d'une tension appliquée à 
un élément à trois dimensions de l'univers à quatre dimensions. 
Soit un en point quelconque ii, U, l^, \, les composantes d'une 

direction. 

Considérons d'abord le tenseur obtenu en partant de l'élément 
de volume (à quatre dimensions) de l'univers 

n :=. [oji 0^2 0)3 0)4], 

élément qui a une signification invariante, et en formant 

Ce tenseur est analogue à la pression (constante) d'un fluide 

parfait. 

Plus généralement nous considérerons le tenseur 

où IIi, lia, 113,11^ sont des éléments d'intégrales triples. 

La dérivée covariante de ce tenseur s'obtiendra en prenant la 
dérivée ordinaire de 12, mais en supposant que les différentielles d^'z, 
satisfont aux relations (8') qui expriment que la direction (;) reste 
parallèle à elle-même : 



/, = ■ 



(8') dl = —Si^['tk(*^ki]' 



k = l 



62 E. CARTAN. 

Dans ces conditions, on a 

^'=2ç,)n;-;^s,[n.c.>,,] . 

On pourrait dire que si IT^, ITg, Ilg, 11., représentent les compo- 
santes d'une tension élastique s'éxerçant sur un élément à trois 
dimensions de l'univers, les quantités 

/ =4 

n;— 2;s.[n;,ov,,] 

sont les composantes de 1^ force s'éxerçant sur un élément de 
volume à quatre dimensions de l'univers. 

Le tenseur ù sera dit satisfaire à la loi de conseri^ation si sa dérivée 
covariante Q! est nulle, c'est-à-dire si l'on a les relations 

/; = ! 
Il en est ainsi par exemple du tenseur particulier 

" = 4l ['■'hf»>3f«J4] + ^2 [036)1(04] -1- Ç3 [OJ] 0020)4] 4l['J>l<''^-2''Ja] '• 

on a en effet, par exemple, 

II', 1= [ OJ2 Wj 01)4]'= [ m'., OJ.j hi; ] [ 0)., Oi)'j OJ4 ] -i- [ 0)2 (1)3 o'j ] 

T=: t.,\^(^i^ (012^3 0)4 ] Î3 [ W2 Wl W^^O); ] "H Z :,\^(j).^(l):^(t) ^ W|i ] 

=:£2[W3C01 6)/. 0)2i] + £3 [<■»), 0)2^4 OJ3,] — £; [ W, '.)2 Wj OJ; , ] 
=:£2[n2W2i] +£3[n3(,)3,] 4-£4[Il4 0J4l]. 

57. A chaque tenseur H peut être associée une forme quadra- 
tique en (0,. 11 suffit pour cela de remarquer que la forme 

£i^iWi 4- £2^202-+- £3^3W3 + £4Ç;04 

est un covariant absolu de Hs/wj', que par suite les quatre expres- 
sions 

[0J2C.J3OJ4], [0)3(01^4], [«jJi'jJjCOi], — [oJiWafOj] 



ÉQUATIONS DE L\ GRAVITATION d'eINSTEIN. 63 

sont respectivement covariantes à 

£lf,J,, £2^^2j '3^3, £^0)4. 

Le tenseur Q. est donc associé à une forme bilinéaire en l et w, 
et par suite, si cette forme bilinéaire est symétrique, à une forme 
quadratique en to,. Le tenseur 

est ainsi associé à la forme bilinéaire i:£/H,w„ et aussi à la forme 
fondamentale le/W'- 

La condition de symétrie d'un tenseur est d'après cela facile à 
exprimer; le calcul facile donne tout simplement 

58. D'après ce qui précède et en nous aidant de l'invariant 
absolu 

1 4 

'■/ 

il nous est bien facile de former un tenseur symétrique qui soit un 
covariant absolu. Partons en effet de la forme co variante 

1 ,4 

n = Â[^.,w2W3'->i] = V £,.£yA;:j[^^,(.jy(o/, w/] 

- £2£3[^230JlO)4] + £sSi[î*-Zl^h<^:] + £l£2[^12C^>3COi] 

4- £i£,[i2uajoO)3]-|-£2£4[i^2iW3«l] + ^3 £* [^31 W, COj ]• 

Nous obtenons un tenseur covariant absolu en remplaçant 
dans n les expressions [w,co^] par les valeurs ;,w.y — ^yw,-. Nous 
obtenons ainsi 

n,= £3£4[W2l234] + 2i£2['-J3^42] + £2£3[W4^23], 

Yl^Z=Z £,£4[0)3^,4] + £4£3['>J.^43] "^ Sï^l [«V^3l]. 

Il3= £2£i[(.),<>2;]-f-£v£,[f.)2^4l] + £l£2[^n^I2]< 

Il4=-£2£3[C0,i223]— £3£,[W2^i3l] — £l£2[033i^l2j- 



64 E. CARTAN. 

Ce tenseur est symétrique, car si l'on forme £, fw,no j — î..[^'-*^1'iJj 
on obtient 

£l[C0,n2] — ^^[Wjni] — £;i[cJi(w,i2,3+ W2--23)] — £4[''J3(f'>l";4+ ^2^^24/1 

et les deux termes du second membre sont nuls en vertu des rela- 
tions (12). 

Ce tenseur satisfait à la loi de conservation. La vérification par le 
calcul est facile en se servant des formules (10) et (i3). 

On remarquera que les composantes du tenseur précédent sont 
obtenues sans faire intervenir, au moins formellement, les quan- 
tités A^j; la quantité A elle-même pourrait être laissée de côté 
dans la formation de l'invariant II en remarquant que les quan- 
tités z,ijQ.ij se comportent comme les coordonnées plûckériennes 
d'une droite, au même titre que les quantités [co^coyj; l'expres- 
sion II représente alors le moment mutuel de ces deux droites. 

5î). La forme quadratique associée au tenseur qui vient d'être 
considéré doit nécessairement rentrer dans la formule (48). Un 
calcul facile donne par exemple 

11,1= {uz^kil H- i^t,,K\\ + EgEiA;];;) [0)o0)3r,). ] 

— (£324 A^J +^i^kl\) [0J1OJ2W4] 
+ (EiS.Af; H-e4£3Ai|î)[oj,o)aW3]. 

La forme quadratique cherchée est donc 

$ = £,(£2£3AH3 -h £2£4A^J + £3£4-\^*)aj"f H-...— 2(£3A;]Ï' + £. A^^)WiC.)2-|- 

Elle se déduit de l'expression (48) en prenant 
A= — I, a^i, (3 = o. 

^0. Si nous voulons maintenant déterminer toutes les formes 
quadratiques rentrant dans la formule (48) et qui satisfont à la 
loi de conservation, nous remarquons d'abord que le coefBcient ^ 
peut être quelconque; la loi de conservation est vérifiée si en. -\-\ 
est nul. Elle ne peut Vêtre dans aucun autre cas. Sinon, en effet, 



ÉQUATIONS DE LA. GRAVITATION d'eINSTEIN. 65 

elle serait vérifiée pour X=[3^o, a = i, c'est-à-dire pour le 
tenseur 

Çl A[W2W3W;] + £2A.[0J:{COi Wi] "h ^3 A [ (Oj 0)2 W4 ] Hi A [ ÙJ, fiJo GO3 ]. 

On aurait donc 

[AW2 WaWi]'^ £0 A [(03(0,0040)21] -I- £3 A[(iJ, 0)2W4(03i] £4 A[0Ji 0)20)3(041]. 

Cette relation est vérifiée si A est constant; il en résulte donc 
qu'on devrait avoir 

[a?Aco2<i)3 0)4] = [f/A 0)3 0)10)4] = [n(A(,)i j),(04] = [<iA 0)10)20)3] = o. 

Uinvariant A serait donc une constante^ ce qui n'a pas lieu en 
général. 

Les seuls tenseurs gravitationnels possibles qui satisfassent à la 
loi de conservation sont donc donnés par les formules 

ni= /.£3£4[0)2i23i] + IZ-lZ'^i'^yA^i'] -h >.£2£3[W4^23] + f^ [ 0)2 0)3 0)4 ], 

112= }.£i£( [0)3^2,4] + À £3 £4 [0)11^43] + >.£3£, [0)4^^31] + fJ.[0)3 0^10)4], 

IIs^i /£2 £4 [0)112,4] + /£,£. [0)21241 ]+?.£, £2 [0)4^212] + fi [0)10)20)4], 

1X4 = — À£2£3[0)ii22i] — /,£3£l[0)2l23,] — /.£i£2[0)3Î2i2] — fi [ 0)i 0)2 CO3 ], 

ce qui correspond à la forme quadratique 

^ G,7, d.Xi dxi, = — X y £/ a;-) 0)y 0)/, + ( > A. + IJ.)^. ^t^^h 

avec deux constantes arbitraires /V, ix. 

On peut remarquer que, dans la théorie d'Einstein, la forme II 
représente Vêlement de matière, ou plutôt l'élément d'action (à 
quatre dimensions). 



PARIS. - IMPRIMERIE GAU TH lER-VILLA RS ET G'% 

68297 Quai des Grands-Âugustins, 55. 



CARTAKy E. 

SUR LES EQUATIONS DE LA GRAVITAT- 
ION d'einstein 



MATH & STAT LIBRARY 
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'^. 




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55, QUAI DES GRANDS-AUGUSÏINS, PARIS (6*) 



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Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées. — Le Principe de la Rela- 
tivité et le Principe de la Gravitation. Leçons professées en 192 1 et 
1922 à l'Ecole Polytechnique ei au Muséum d'Histoire naturelle. Un vol. 
in-8 raisin (25-16) de ix-342 pages, avec 21 figures; 1922 25 fr. 

BLOCH (Léon), Docteur es sciencs. — Le Principe de la Relativité de la 
théorie d'Einstein. Un vol. in-8 (25-16) de 4-* pages; 1922... 3 fr. 5o 

BOREL (Emile), Professeur à la Faculté des Sciences de Paris. — Intro- 
duction Géométrique à quelques théories physiques. ïn-8 (26-16) de 
vn-i4o pages, avec 3 figures; 1914 10 fr. 

DONPER (Th. de), Professeur de Physique mathématique à l'Université 
de Bruxelles, Membre de l'Académie royale de Belgique. — La Gravi- 
phique Einsteinienne. Un vol. in-4 de 198 pages, 1921 20 fr. 

DUBROCÂ (Marcellin), Professeur de Physique au Lycée de Dijon. — 
Au sujet de la théorie de la Relativité restreinte. {Quelques illusions 
des sens et leur explication.) \n-% (25-i6) de 76 pages; 1921 .... 6 fr. 

EINSTEIN (A. )T — La Théorie Jde la Relativité restreinte et généra- 
lisée, traduit d'après la douzième édition, par M"*^ .1. Bouvière. Préface 
par Emile Bouel, Professeur à la Faculté des Sciences de Paris. Un vol. 
in-8 écu de xxH-120 pages, avec 5 figures; 1921 7 fr. 

EINSTEIN (A). — LÉther et la Théorie de la Relativité. Traduction 
française par Maurice Solovine. Un vol. in-8 de 16 pages; 1921. 2 fr. 5o 

EINSTEIN (A.). — La Géométrie et l'Expérience. Traduction française 
par Maurice Solovine. Un vol. in-8 de 20 pages et 2 figures; 1921. 3 fr. 

HALDANE (Lord). — Le règne de la Relativité. Traduction française 
par H. de Vauigny. Un volume in-8 (19x16) de Sgo pages; 192a; 
broch('' 3o fr. 

LÉMERAY (E.-M.). — Le Principe de Relativité. Un volume in-i6 
(19-12) de IV- 1;'6 pages, avec 1 3 figures; 1916 7 fr. 5o 

LÈMERAY (E.-M. '. — Leçons élémentaires sur la Gravitation. Un vol. 

ia-8 carré (12-18) de 97 pages; broché 7 fr. J 

PAGOTTE. — La physique théorique nouvelle. Un vol. in-8 raisin . 
(25-16) de vii-iSa pages, avec 23 figures; 1921. 12 fr, , { 

PICARD (Emile), Membre de l'Institut, Secrétaire perpétuel de l'Académie 
des Sciences. — La théorie de la Relativité et ses applications à 
l'astronomie. Un volume in-i6 double-couronne de 27 paires; 1921; 
broché i ir. 75 

ROUGIER (Louis), Professeur agrégé de Philosophie. — La Matière t\ 
l'Energie. Essai sur la théorie de la relativité et la théorie des quanta. 
Un volume in-8 (25- 16) de xii-i 12 pages; 192 1; broché 9 fr. 5o 

(j8297-îa Paris. — Inip. Gauthier-Villaks ot Cie, 55, Quai des Grands-Augustins 



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